Câu 42 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O], điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn [O] sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn [O].
Giải:
*Phân tích
Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: AB OB \[\widehat {ABO} = 90^\circ \]
\[AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \]
Tam giác ABO có \[\widehat {ABO} = 90^\circ \] nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có \[\widehat {ACO} = 90^\circ \] nội tiếp trong đường tròn đường kính AO.
Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn [O].
*Cách dựng
Dựng I là trung điểm của OA.
Dựng đường tròn [ I; IO] cắt đường tròn [O] tại B và C.
Nối AB, AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng.
*Chứng minh
Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn [I] có OA là đường kính nên: \[\widehat {ABO} = 90^\circ \]
Suy ra: AB OB tại B nên AB là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn [I] có OA là đường kính nên : \[\widehat {ACO} = 90^\circ \]
Suy ra: AC OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn [O]
*Biện luận
Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn [O].
Câu 43 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn [O] đi qua A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến.
Giải:
*Phân tích
Giả sử dựng được đường tròn [O] qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn [O] phải tiếp xúc với d tại A.
Đường tròn [O] đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB.
Đường tròn [O] tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A.
*Cách dựng
Dựng đường thẳng trung trực của AB.
Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O.
Dựa đường tròn [ O; OA] ta được đường tròn cần dựng.
*Chứng minh
Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Khi đó đường tròn [O; OA] đi qua hai điểm A và B.
Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của [O].
Vậy [O] thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 44 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn [B ; BA] và đường tròn [C ; CA], chúng cắt nhau tại điểm D [khác A]. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn [B].
Giải:
Xét hai tam giác ABC và DBC, ta có:
BA = BD [bán kính của [B; BA]]
CA = CD [bán kính của [C; CA]]
BC chung
Suy ra: ABC = DBC [c.c.c]
Suy ra: \[\widehat {BAC} = \widehat {BDC}\]
Mà \[\widehat {BAC} = 90^\circ \] [gt] \[ \Rightarrow \widehat {BDC} = 90^\circ \]
Suy ra: CD BD tại D
Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn [B; BA].