Bài 52 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao
a] Chứng minh rằng nếu và β khác \[{\pi \over 2} + k\pi \,[k \in Z]\]thì:
\[\left\{ \matrix{
\tan \alpha + \tan \beta = {{\sin [\alpha + \beta ]} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \hfill \cr
\tan \alpha - \tan \beta = {{\sin [\alpha - \beta ]} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \hfill \cr} \right.\]
b] Chứng minh rằng với mọi mà cos k 0 [k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] và sin 0 thì:
\[{1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} + {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} \]
\[= {{\tan 8\alpha - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\]
Đáp án
a] Ta có:
\[\eqalign{
& \tan \alpha + \tan \beta = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\sin \beta } \over {\cos \beta }} \cr&= {{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr
& = {{\sin [\alpha + \beta ]} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr} \]
Tương tự: \[\tan \alpha - \tan \beta = {{\sin [\alpha - \beta ]} \over {\cos \alpha \cos \beta }}\]
b] Ta có: \[{1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} = {{\tan 2\alpha - \tan \alpha } \over {\sin [2\alpha - \alpha ]}} = {{\tan 2\alpha - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\]
Tương tự:
\[\eqalign{
& {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} = {{\tan 3\alpha - \tan 2\alpha } \over {\sin \alpha }};... \cr
& {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} = {{\tan 8\alpha - \tan 7\alpha } \over {\sin \alpha }} \cr} \]
Do đó: \[{1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} + {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} \]
\[= {{\tan 8\alpha - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\]
Bài 53 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao
Biết cosα +cosβ =a; sinα+sinβ =b [a,b là hằng số và a2 + b2 0]
Hãy tính sin[α + β ] theo a và b
Đáp án
Ta có:
\[\left. \matrix{
a = 2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\cos {{\alpha - \beta } \over 2} \hfill \cr
b = 2\sin {{\alpha + \beta } \over 2}\sin {{\alpha - \beta } \over 2} \hfill \cr} \right\} \]
\[\Rightarrow ab = 2\sin [\alpha + \beta ]co{s^2}{{\alpha - \beta } \over 2}\]
Mặt khác: \[{a^2} + {b^2} = 4{\cos ^2}{{\alpha - \beta } \over 2}\]
Do đó: \[\sin [\alpha + \beta ] = {{2ab} \over {{a^2} + {b^2}}}\]
Bài 54 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao
Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O, với vận tốc ban đầu là v[m/s] theo phương hợp với trục hoành [nằm ngang] Ox một góc α , \[0 < \alpha < {\pi \over 2}\]là parabol có phương trình :
\[y = - {g \over {2{v^2}{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + [\tan \alpha ]x\]
Trong đó g là gia tốc trọng trường [g 9,8m/s2] [giả sử lực cản của không khí là không đáng kể].
Gọi tầm xa của quỹ đạo là khoảng cách từ O đến giao điểm khác O của quỹ đạo với Ox.
a] Tính tầm xa theo α [và v]
b] Khi v không đổi, α thay đổi trong khoảng \[[0,\,{\pi \over 2}]\], hỏi giá trị α nào thì tầm xa của quỹ đạo đạt được giá trị lớn nhất? Tính giá trị đó theo v. Khi v = 80m/s. Hãy tính giá trị lớn nhất đó [chính xác đến hàng đơn vị].
Đáp án
a] Gọi x là tầm xa của quỹ đạo, thì:
\[\left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
- {{g{x^2}} \over {2{v^2}{{\cos }^2}\alpha }} + [\tan \alpha ]x = 0 \hfill \cr} \right.\]
tức là: \[x = {{2{v^2}\sin \alpha \cos \alpha } \over g} = {{{v^2}} \over g}\sin 2\alpha \]
b] x đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \[\sin 2\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = {\pi \over 4}\]
Khi đó: \[x = {{{v^2}} \over g}\]
Với \[v = 80m/s\] thì \[{{{v^2}} \over g} \approx {{{{80}^2}} \over {9,8}} \approx 653[m]\]