Bài 55 trang 123 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a] \[5{x^2} - x + m > 0;\]
b]\[m{x^2} - 10x - 5 < 0.\]
Gợi ý làm bài
a] \[\eqalign{
& 5{x^2} - x + m > 0,\forall x \cr
& \Leftrightarrow \Delta = 1 - 20m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over {20}} \cr} \]
b]Khi m = 0, bất phương trình trở thành -10x - 5 < 0 , không nghiệm đúng với mọi x.
Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
\Delta ' = 25 + 5m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 5\]
Bài 56 trang 124 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a] \[\eqalign{
& a]{{{x^2} - mx - 2} \over {{x^2} - 3x + 4}} > - 1; \cr
& \cr} \]
b]\[m[m + 2]{x^2} + 2mx + 2 < 0.\]
Gợi ý làm bài
\[\eqalign{
& a]{{{x^2} - mx - 2} \over {{x^2} - 3x + 4}} > - 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - mx - 2 > - {x^2} + 3x - 4 \cr} \]
Do \[{x^2} - 3x + 4 > 0,\forall x\]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} - [m + 3]x + 2 > 0\]
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi\[\Delta < 0\]
\[{[m + 3]^2} - 16 < 0\]
\[\Leftrightarrow - 4 < m + 3 < 4 \Leftrightarrow - 7 < m < 1\]
b] +Nếu m = 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x;
+Nếu m = -2 thì bất phương tình trở thành 4x + 2 > 0, không nghiệm đúng với mọi x.
+ Nếu\[m \ne 0\] và \[m \ne - 2\] thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m[m + 2] > 0 \hfill \cr
\Delta ' = {m^2} - 2m[m + 2] < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m[m + 2] > 0 \hfill \cr
- {m^2} - 4m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 4;m > 0 \cr} \]
Đáp số: \[m < - 4;m \ge 0\].
Bài 57 trang 124 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a]\[5{x^2} - x + m \le 0;\]
b]\[m{x^2} - 10x - 5 \ge 0.\]
Gợi ý làm bài
a] Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi\[5{x^2} - x + m > 0\] nghiệm đúng với mọi x.
\[ \Leftrightarrow 1 - 20m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over {20}}\]
Đáp số: \[m > {1 \over {20}}\]
b] Cần tìm m để\[m{x^2} - 10x - 5 > 0,\forall x\] [1]
Nếu m = 0 thì bất phương trình [1] trở thành$$ - 10x - 5 < 0$$ không nghiệm đúng với mọi x.
Nếu\[m \ne 0\] thì bất phương trình [1] nghiệm đúng khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
\Delta ' = 25 + 5m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 5\]
Đáp số: m < -5.Bài 58 trang 124 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt
a] \[[{m^2} + m + 1]{x^2} + [2m - 3]x + m - 5 = 0;\]
b] \[{x^2} - 6mx + 2 - 2m + 9{m^2} = 0.\]
Gợi ý làm bài
a] Phương trình đã cho có hai nghiệm dương \[{x_1},{x_2}\] phân biệt khi và chỉ khi
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr
- {b \over a} \hfill \cr
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{[2m - 3]^2} - 4[m - 5][{m^2} + m + 1] > 0 \hfill \cr
{{ - [2m - 3]} \over {{m^2} + m + 1}} > 0[1] \hfill \cr
{{m - 5} \over {{m^2} + m + 1}} > 0[2] \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vì \[{m^2} + m + 1 > 0\] nên bất phương trình [1]\[ \Leftrightarrow m < {3 \over 2}\]
và bất phương trình [2]\[ \Leftrightarrow m > 5\]
Do dó không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
b] Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr
- {b \over a} \hfill \cr
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
9{m^2} - [2 - 2m + 9{m^2}] > 0 \hfill \cr
{{6m} \over 1} > 0 \hfill \cr
{{9{m^2} - 2m + 2} \over 1} > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2m - 2 > 0 \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr
9{m^2} - 2m + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 1 \hfill \cr
\forall m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 1. \cr} \]
Đáp số: m > 1.