Câu 61 trang 145 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy [B, C nằm cùng phía đối với xy]. Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng:
a] BAD = ACE
b] DE = BD + CE
Giải
a] Ta có: \[\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {BAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 180^\circ \][kề bù]
Mà \[\widehat {BAC} = 90^\circ \left[ {gt} \right] \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \] [1]
Trong AEC, ta có:
\[\widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {AC{\rm{E}}}{\rm{ = 90}}^\circ \] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\]
Xét hai tam giác vuông AEC và BDA, ta có:
\[\widehat {A{\rm{E}}C} = \widehat {B{\rm{D}}A} = 90^\circ \]
AC = AB [gt]
\[\widehat {AC{\rm{E}}} = \widehat {BA{\rm{D}}}\][chứng minh trên]
Suy ra: AEC = BDA [cạnh huyền, góc nhọn]
b] Ta có: AEC = BDA
=> AE = BD và EC = DA
Mà DE = DA + AE
Vậy: DE = CE + BD
Câu 62 trang 145 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng:
a] DM = AH
b] MN đi qua trung điểm của DE
Giải
a] Ta có \[\widehat {BAH} + \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {DAM} = 180^\circ \][kề bù]
Mà \[\widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BAH} + \widehat {DAM} = 90^\circ \] [1]
Trong tam giác vuông AMD, ta có:
\[\widehat {AM{\rm{D }}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DAM} + \widehat {A{\rm{D}}M} = 90^\circ \left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\]
Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:
\[\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {BAH} = 90^\circ \]
AB = AD [gt]
\[\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\][chứng minh trên]
Suy ra: AMD = BHA [cạnh huyền, góc nhọn]
Vậy: AH = DM [2 cạnh tương ứng] [3]
b] Ta có: \[\widehat {HAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 180^\circ \][kề bù]
Mà \[\widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \left[ {gt} \right] \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 90^\circ \] [4]
Trong tam giác vuông AHC, ta có:
\[\widehat {AHC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \left[ 5 \right]\]
Từ [4] và [5] suy ra: \[\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\]
Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:
\[\widehat {AHC} = \widehat {E{\rm{N}}A} = 90^\circ \]
AC = AE [gt]
\[\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\][chứng minh trên]
Suy ra: AHC = ENA [cạnh huyền, góc nhọn]
Vậy AH = EN [2 cạnh tương ứng]
Từ [3] và [6] suy ra : DM = EN
Vì \[DM \bot AH\]và \[EN \bot AH\]nên DM // EN [2 đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ 3]
Gọi O là giao điểm MN và DE
Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:
\[\widehat {DMO} = \widehat {EN{\rm{O}}} = 90^\circ \]
DM = EN [chứng minh trên]
\[\widehat {M{\rm{D}}O} = \widehat {NEO}\][so le trong]
Suy ra: DMO = ENO [g.c.g] => OD = DE
Vậy MN đi qua trung điểm của DE.
Câu 63 trang 146 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh rằng:
a] AD = EF
b] ADE =EFC
c] AE = EC
Giải
a] Xét DBF và FDE, ta có ;
\[\widehat {B{\rm{D}}F} = \widehat {DF{\rm{E}}}\][so le trong vì EF // AB]
DF cạnh chung
\[\widehat {DFB} = \widehat {F{\rm{D}}E}\][so le trong vì DE // BC]
Suy ra: DBF = FED[g.c.g] =>DB = EF [2 cạnh tương ứng]
Mà AD = DB [gt]
Vậy: AD = EF
b] Ta có: DE // BC [gt]
\[ \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat B\][đồng vị]
EF // AB [gt]
\[ \Rightarrow \widehat {{F_1}} = \widehat B\][đồng vị]
\[\widehat {{E_1}} = \widehat A\][đồng vị]
Xét ADE và EFC, ta có:
\[\widehat A = \widehat {{E_1}}\][chứng minh trên]
AD = EF [chứng minh trên]
\[\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\][vì cùng bằng \[\widehat B\]]
Suy ra: ADE = EFC [g.c.g]
c] Vì ADE = EFC [chứng minh trên]
Nên AE = EC [hai cạnh tương ứng]