Bài 7 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ, với mỗi số \[m \ne 0\], xét hai điểm \[{M_1}[ - 4\,;\,m];\,{M_2}[4\,;\,{{16} \over m}]\]
a] Viết phương trình đường thẳng M1M2.
b] Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng M1M2.
c] Chứng tỏ rằng đường thẳng M1M2 luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
d] Lấy các điểm \[{A_1}[ - 4\,;\,0],\,{A_2}[4\,;\,0]\]. Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng \[{A_1}{M_2},\,{A_2}{M_1}\].
e] Chứng minh rằng khi m thay đổi, I luôn luôn nằm trên một elip [E] cố định. Xác định tọa độ tiêu điểm của elip đó.
Giải
a] Ta có \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left[ {8\,;\,{{16} \over m} - m} \right] = \left[ {8\,;\,{{16 - {m^2}} \over m}} \right]\]
Phương trình đường thẳng \[{M_1}{M_2}\,\,:\,\,{{x + 4} \over 8} = {{y - m} \over {{{16 - {m^2}} \over m}}}\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,\left[ {16 - {m^2}} \right].\left[ {x + 4} \right] = 8m\left[ {y - m} \right] \cr
& \Leftrightarrow \,\,\left[ {16 - {m^2}} \right].x - 8my + 64 + 4{m^2} = 0 \cr} \]
b] Khoảng cách từ O đến đường thẳng M1M2 là
\[d[O\,,\,{M_1}{M_2}] = {{64 + 4{m^2}} \over {\sqrt {{{\left[ {16 - {m^2}} \right]}^2} + 64{m^2}} }} = {{4\left[ {{m^2} + 16} \right]} \over {\sqrt {{{\left[ {{m^2} + 16} \right]}^2}} }} = 4\]
c] Gọi [C] là đường tròn tâm O bán kính R = 4 thì M1M2 tiếp xúc với đường tròn cố định [C].
d] Phương trình đường thẳng A1M2 là
\[{{x + 4} \over 8} = {{y - 0} \over {{{16} \over m}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2x - my + 8 = 0\]
Phương trình đường thẳng A2M1 là
\[{{x - 4} \over { - 8}} = {{y - 0} \over m}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,mx + 8y - 4m = 0\]
Tọa độ giao điểm I của A1M2 và A2M1 là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
2x - my + 8 = 0 \hfill \cr
mx + 8y - 4m = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,[*]\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = {{4[{m^2} - 16]} \over {{m^2} + 16}} \hfill \cr
y = {{16m} \over {{m^2} + 16}} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[I\left[ {{{4[{m^2} - 16]} \over {{m^2} + 16}}\,;\,{{16m} \over {{m^2} + 16}}} \right]\].
e] Khử m từ hệ [*] ta có
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
my = 2x + 8 \hfill \cr
m[4 - x] = 8y \hfill \cr} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\,[2x + 8].[4 - x] = 8{y^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,2[16 - {x^2}] = 8{y^2}\,\, \cr
& \cr& \Rightarrow {x^2} + 4{y^2} = 16\cr&\Rightarrow \,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \cr} \]
Vậy I nằm trên elip [E] có phương trình \[\,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\].
Ta có \[{c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 - 4 = 12\,\,\,\, \Rightarrow \,\,c = 2\sqrt 3 \]
Hai tiêu điểm của elip là \[{F_1}[ - 2\sqrt 3 \,;\,0]\,,\,\,\,{F_2}[2\sqrt 3 \,;\,0]\]
Bài 8 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho hypebol [H] có phương trình \[{{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 4} = 1\]
a] Viết phương trình các đường tiệm cận của hypebol [H].
b] Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol [H].
c] Chứng minh rằng các điểm \[M\left[ {5\,;\,{3 \over 2}} \right]\,,\,N[8\,;\,2\sqrt 3 ]\]đều thuộc [H].
d] Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của hypebol [H].
e] Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.
Giải
a] Ta có a = 4, b = 2.
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol [H] là
\[y = \pm {b \over a}x = \pm {1 \over 2}x\]
b] Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol [H] là \[S = 4ab = 4.4.2 = 32\]
c] Ta có \[{{{5^2}} \over {16}} - {{{{\left[ {{3 \over 2}} \right]}^2}} \over 4} = 1\]và \[{{{8^2}} \over {16}} - {{{{\left[ {2\sqrt 3 } \right]}^2}} \over 4} = 1\]nên M và N đều thuộc [H].
d] Phương trình đường thẳng của MN
\[\Delta \,:\,\,{{x - 5} \over {8 - 5}} = {{y - {3 \over 2}} \over {2\sqrt 3 - {3 \over 2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}}\]
Giao điểm P của Δ với tiệm cận \[y = {1 \over 2}x\]là nghiệm của hệ
\[\left\{ \matrix{
\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = 8 + 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = 4 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\]
\[\Rightarrow \,\,P\,\left[ {8 + 2\sqrt 3 \,;\,\,4 + \sqrt 3 } \right]\] .
Giao điểm Q của Δ với tiệm cận \[y = - {1 \over 2}x\] là nghiệm của hệ
\[\left\{ \matrix{
\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = - {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = 5 - 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = - {5 \over 2} + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \]
\[\RightarrowQ\left[ {5 - 2\sqrt 3 \,;\, - {5 \over 2} + \sqrt 3 } \right]\]
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN, PQ . Ta có \[{x_I} = {x_J} = {{13} \over 2}\]. Do \[I\,,\,J\,\, \in \,\,\Delta \]nên \[I \equiv J\].
Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.
Bài 9 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho parabol [P] có phương trình y2 = 4x.
a] Xác định tọa độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn d của [P].
b] Đường thẳng Δ có phương trình \[y = m\,,\,\,[m \ne 0]\]lần lượt cắt d, Oy, [P] tại các điểm K, H, M. Tìm tọa độ của các điểm đó.
c] Gọi I là trung điểm của OH. Viết phương trình đường thẳng IM và chứng tỏ rằng đường thẳng IM cắt [P] tại một điểm duy nhất.
d] Chứng minh rằng \[MI \bot KF\]. Từ đó suy ra IM là phân giác của góc KMF.
Giải
a] Ta có p = 2. Tọa độ tiêu điểm của [P] là F[1, 0].
Phương trình đường chuẩn d: x + 1 = 0.
b] Ta có \[K[ - 1;\,m]\,,\,\,H[0\,;\,m]\,,\,M\left[ {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right]\].
c] I là trung điểm OH nên \[I\left[ {0\,;\,{m \over 2}} \right]\]
Phương trình đường thẳng IM
\[{{x - 0} \over {{{{m^2}} \over 4} - 0}} = {{y - {m \over 2}} \over {m - {m \over 2}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = {m \over 2}\left[ {y - {m \over 2}} \right]\]
\[\Leftrightarrow \,\,\,4x - 2my + {m^2} = 0\]
Tọa độ giao điểm của IM với [P] là nghiệm của hệ
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
4x - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
{y^2} - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
{[y - m]^2} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{
x = {{{m^2}} \over 4} \hfill \cr
y = m \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy IM cắt [P] tại một điểm duy nhất \[M\left[ {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right]\]
d] Ta có \[\overrightarrow {MI} = \left[ { - {{{m^2}} \over 4}\,;\, - {m \over 2}} \right]\,\,,\,\,\,\overrightarrow {KF} = [2\,;\, - m]\].
Suy ra \[\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {KF} = - {{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} = 0\,\,\,\, \Rightarrow \,\,MI \bot KF\]
Tam giác \[KMF\]cân tại M [do MF = MK].
MI là đường cao nên là phân giác góc KMF.