Câu 39 trang 215 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính vi phân của hàm số \[f\left[ x \right] = \sin 2x\] tại điểm \[x = {\pi \over 3}\] ứng với x = 0,01 ; x = 0,001.
Giải:
\[\eqalign{ & df\left[ {{x_0}} \right] = f'\left[ {{x_0}} \right]\Delta x.\,\text{ Ta có }\,f'\left[ x \right] = 2\cos 2x \cr & df\left[ {{\pi \over 3}} \right] = 2\cos {{2\pi } \over 3}.\Delta x = - \Delta x \cr} \]
Với \[\Delta x = 0,01\,\text{ thì }\,df\left[ {{\pi \over 3}} \right] = - 0,01\]
Với \[\Delta x = 0,001\,\text{ thì }\,df\left[ {{\pi \over 3}} \right] = - 0,001\]
Câu 40 trang 216 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính vi phân của các hàm số sau :
a. \[y = {{\sqrt x } \over {a + b}}\] [a và b là các hằng số]
b. \[y = xsinx\]
c. \[y = {x^2} + {\sin ^2}x\]
d. \[y = {\tan ^3}x\]
Giải:
a. Ta có: \[y' = {1 \over {2\left[ {a + b} \right]\sqrt x }} \Rightarrow dy = {1 \over {2\left[ {a + b} \right]\sqrt x }}dx\]
b. \[y' = \sin x + x\cos x\]
\[\Rightarrow dy = y'dx = \left[ {\sin x + x\cos x} \right]dx\]
c. \[dy = y'dx = \left[ {2x + \sin 2x} \right]dx\]
d. \[dy = y'dx = 3{\tan ^2}x\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right]dx\]
Câu 41 trang 216 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Áp dụng công thức [2], tìm giá trị gần đúng của các số sau [làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn].
a. \[{1 \over {0,9995}}\]
b. \[\sqrt {0,996} \]
c. \[\cos 45^\circ 30'\]
Giải:
a. Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {1 \over x},\,\text{ ta có }\,f'\left[ x \right] = {{ - 1} \over {{x^2}}}\]
Đặt \[{x_0} = 1,\Delta x = - 0,0005\] và áp dụng công thức gần đúng
\[f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] \approx f\left[ {{x_0}} \right] + f'\left[ {{x_0}} \right]\Delta x\]
Ta được : \[{1 \over {{x_0} + \Delta x}} \approx {1 \over {{x_0}}} - {1 \over {x_0^2}}.\Delta x,\]
Hay : \[{1 \over {0,9995}} \approx 1 + 0,0005 = 1,0005\]
b. Xét
\[\eqalign{ & f\left[ x \right] = \sqrt x \,\text{ ta có }\,f'\left[ x \right] = {1 \over {2\sqrt x }} \cr & {x_0} = 1,\Delta x = - 0,004 \cr & f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] \approx f\left[ {{x_0}} \right] + f'\left[ {{x_0}} \right]\Delta x \cr & \Leftrightarrow \sqrt {0,996} \approx 1 - {1 \over 2}.0,004 = 0,998 \cr} \]
c. Xét hàm số \[f[x] = \cos x\], ta có: \[f'\left[ x \right] = - \sin x.\]
Đặt \[{x_0} = {\pi \over 4},\Delta x = {\pi \over {360}}\]
[Vì \[{\pi \over {360}} = 30'\] ] và áp dụng công thức gần đúng trên, ta được :
\[\eqalign{ & \cos \left[ {{\pi \over 4} + {\pi \over {360}}} \right] \approx \cos {\pi \over 4} - \sin \left[ {{\pi \over 4}} \right].{\pi \over {360}} \cr & \text{Vậy }\,\cos 45^\circ 30' \approx {{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2}.{\pi \over {360}} \approx 0,7009 \cr} \]