Câu 76 trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Hai ròng rọc có tâm O, O và bán kính R = 4a, R = a. Hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A theo góc 600. Tìm độ dài của dây cua- roa mắc qua hai dòng dọc.
Giải
Vì hai tiếp tuyến chung của đường tròn [O] và [O] cắt nhau tại A nên O, O, A thẳng hàng.
\[\widehat {OAM} = \widehat {OAP} = {1 \over 2}\widehat {MAP}\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
\[ \Rightarrow \widehat {OAM} = {30^0}\]
Trong tam giác vuông OMA có \[\widehat {OMA} = {90^0}\]
\[ \Rightarrow MA = OM.\cot \widehat {OAM}\]
\[ = 4a\cos {30^0} = 4a\sqrt 3 \]
Trong tam giác vuông ONA có\[\widehat {O'NA} = {90^0}\]
\[ \Rightarrow NA = O'N\cot \widehat {O'AN} = a\cot {30^0} = a\sqrt 3 \]
\[MN = MA - NA = 4a\sqrt 3 - a\sqrt 3 = 3a\sqrt 3 \]
Trong tứ giác ONAQ có \[\widehat N = \widehat Q = {90^0}\]; \[\widehat A = {60^0}\]
Suy ra: \[\widehat {NO'Q} = {120^0}\]
Độ dài cung nhỏ \[\overparen{NQ}\] là: \[{l_1} = {{\pi .a.120} \over {180}} = {{2\pi a} \over 3}\]
Trong tứ giác OMAP có \[\widehat M = \widehat P = {90^0}\]; \[\widehat A = {60^0}\\]
Suy ra: \[\widehat {MOP} = {120^0}\] nên số đo cung nhỏ \[\overparen{MP}\] bằng 1200
sđ \[\overparen{MnP}\] \[ = {360^0} - {120^0} = {240^0}\]
Độ dài cung lớn \[\overparen{MnP}\] là \[{l_2}\] \[ = {{\pi .4a.240} \over {180}} = {{16\pi a} \over 3}\]
Chiều dài của dây cua roa mắc qua hai ròng rọc là:
\[2MN + {l_1} + {l_2} = 2.3a\sqrt 3 + {{2\pi a} \over 3} + {{16\pi a} \over 3}\[
=\[6a\sqrt 3 + 6\pi a = 6a\left[ {\sqrt 3 + \pi } \right]\]
Câu 77 trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Tính diện tích phần gạch sọc trên hình sau [theo kích thước đã cho trên hình]
Giải
Diện tích phần gạch sọc là hiệu giữa diện tích hình thang ABCD và diện tích hình quạt tròn có góc ở tâm 300của đường tròn bán kính bằng a.
Từ D kẻ \[DH \bot BC\]
Trong tam giác vuông HDC có \[\widehat {DHC} = {90^0}\]
\[DH = DC.\sin C = a.\sin {30^0} = {a \over 2}\]
\[CH = DC.cos\widehat C = a.cos{30^0} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
\[BH = BC - HC = a - {{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over 2}\]
\[ \Rightarrow AD = {{a\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over 2}\]
Diện tích của hình thang ABCD bằng:
\[{{AD + BC} \over 2}.DH = {{{{a\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over 2} + a} \over 2}.{a \over 2}\]
\[ = {{{a^2}\left[ {4 - \sqrt 3 } \right]} \over 8}\]
Diện tích hình quạt tròn bằng: \[{{\pi .{a^2}.30} \over {360}} = {{\pi {a^2}} \over {12}}\]
Diện tích phần gạch sọc:
\[S = {{{a^2}\left[ {4 - \sqrt 3 } \right]} \over 8} - {{\pi a} \over {12}}\]
\[ = {{3{a^2}\left[ {4 - \sqrt 3 } \right] - 2\pi {a^2}} \over {24}}\]
\[ = {{{a^2}} \over {24}}\left[ {12 - 3\sqrt 3 - 2\pi } \right]\]
Câu 78 trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho tam giác AHB có \[\widehat H = 90^\circ ,\widehat A = 30^\circ \] và BH = 4cm. Tia phân giác của góc B cắt AH tại O. Vẽ đường tròn [O; OH] và đường tròn [O; OA].
a] Chứng minh đường tròn [O; OH] tiếp xúc với cạnh AB.
b] Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên.
Giải
a] Kẻ \[OK \bot AB\]
BO là đường phân giác của \[\widehat B\]
\[ \Rightarrow OK = OH\] [tính chất đường phân giác]
Vậy đường tròn [O; OH] tiếp xúc với AB tại K.
b] AHB có \[\widehat H = {90^0}\]; \[\widehat A = {30^0}\]
Suy ra: \[\widehat B = {60^0} \Rightarrow \widehat {ABO} = {1 \over 2}\widehat B = {30^0}\]
Suy ra: OAB cân tại O nên OB = OA
Vậy B [O; OA]
BHO có \[\widehat H = {90^0}\]; \[\widehat {OBH} = {30^0}\]
\[OH = BH.\tan {30^0} = 4.{{\sqrt 3 } \over 3} = {{4\sqrt 3 } \over 3}\] [cm]
\[OB = {{BH} \over {\cos \widehat {OBH}}} = {4 \over {\cos {{30}^0}}} = {4 \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{8\sqrt 3 } \over 3}\] [cm]
Diện tích đường tròn nhỏ: S1= \[\pi {\left[ {{{4\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = {{16\pi } \over 3}\] [cm2]
Diện tích đường tròn lớn: \[{S_2} = \pi {\left[ {{{8\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = {{64\pi } \over 3}\] [cm2]
Diện tích hình vành khăn:
S = \[{S_2} - {S_1} = {{64\pi } \over 3} - {{16\pi } \over 3} = {{48\pi } \over 3} = 16\pi \] [cm2]
Câu 79 trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là một điểm chạy trên nửa đường tròn đó. Trên AC lấy điểm D sao cho AD = CD. Qua A kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn rồi lấy AE = AB [E và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB]
a] Tìm quỹ tích điểm D
b] Tính diện tích phần chung của hai nửa hình tròn đường kính AB và AE.
Giải
a] Chứng minh thuận
Nối DE. Xét ABC và AED:
AB = AE [gt]
AD = BC [gt]
\[\widehat {EAD} = \widehat {ABC}\] [hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung]
Suy ra: ABC = EAD [c.g.c] \[ \Rightarrow \widehat {EAD} = \widehat {ACB}\]
Mà \[\widehat {ACB} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[ \Rightarrow \widehat {EDA} = {90^0}\]
Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì điểm D luôn nhìn đoạn AE cố định dưới một góc bằng 900, nên điểm D nằm trên nửa đường tròn đường kính AE nằm trong nửa mặt phẳng bờ AE chứa nửa đường tròn đường kính AB.
Chứng minh đảo:
Trên nửa đường tròn đường kính AE lấy điểm D bất kỳ, đường thẳng AD cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C. Nối ED, BC.
Xét AD'E và BC'A:
\[\widehat {D'} = \widehat {C'} = {90^0}\] [các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
AE = AB [gt]
\[\widehat {EAD} = \widehat {ABC'}\] [2 góc cùng phụ \[\widehat {C'AB}\]]
Suy ra: AD'E = BC'A [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow AD' = BC'\]
Vậy khi điểm C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB thì quỹ tích điểm D là nửa đường tròn đường kính AE.
b] Gọi tâm hai nửa đường tròn đường kính AB và AE lần lượt là O và O, giao điểm thứ hai của hai đường tròn là M
Ta có: OA = OM = OA = OM [vì AB = AE]
\[\widehat A = {90^0}\]
Vậy tứ giác AOMO là hình vuông
Diện tích phần chung của hai nửa hình tròn bằng diện tích hai quạt tròn có cung \[\overparen{AmM}\] trừ đi diện tích hình vuông
Diện tích hình quạt tròn AOM bằng:
\[{{\pi {{\left[ {{{AB} \over 2}} \right]}^2}.90} \over {360}} = {{\pi A{B^2}} \over {16}}\]
Diện tích của hình vuông AOMO bằng:
\[{\left[ {{{AB} \over 2}} \right]^2} = {{A{B^2}} \over 4}\]
Diện tích phần chung bằng:
\[2.{{\pi A{B^2}} \over {16}} - {{A{B^2}} \over 4} = {{\pi A{B^2}} \over 8} - {{2A{B^2}} \over 8}\]
\[ = {{A{B^2}} \over 8}\left[ {\pi - 2} \right]\] [đơn vị diện tích]