Bài 8 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 8. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] là \[\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC} = A{B^2}\].
Hướng dẫn trả lời
Ta có \[\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC} = {\overrightarrow {BA} ^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA} [\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} ] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {AC} = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,BA \bot AC\]
\[\Leftrightarrow \] Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\].
Bài 9 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 9. Cho tam giác \[ABC\] với ba đường trung tuyến \[AD, BE, CF\]. Chứng minh rằng
\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} = 0\].
Hướng dẫn trả lời
Ta có \[\overrightarrow {AD} = {1 \over 2}[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ]\]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {BE} = {1 \over 2}[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ] \cr
& \overrightarrow {CF} = {1 \over 2}[\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ] \cr} \]
Do đó \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} \]
\[\eqalign{
& = {1 \over 2}\overrightarrow {BC} [\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ] + {1 \over 2}\overrightarrow {CA} [\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ] + {1 \over 2}\overrightarrow {AB} [\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ] \cr
& = {1 \over 2}[\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ]\cr
& = {1 \over 2}[\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ] + {1 \over 2}[\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} ] + {1 \over 2}[\overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} ] = 0 \cr} \]
[điều phải chứng minh]
Bài 10 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 10. Cho hai điểm \[M, N\] nằm trên đường tròn đường kính \[AB = 2R\]. Gọi \[I\] là giao điểm của hai đường thẳng \[AM, BN\].
a] Chứng minh rằng \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \,\,;\,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\]
b] Tính \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \]theo \[R\].
Hướng dẫn trả lời
a] Ta có \[\overrightarrow {AM} .\,\overrightarrow {AI} = [\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} ].\,\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI} \][ vì \[\overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI} = 0\]].
Tương tự, \[\overrightarrow {BN} .\,\overrightarrow {BI} = [\overrightarrow {BA} + \,\overrightarrow {AN} ].\,\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI} \][ vì \[\overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI} = 0\]].
b] Theo câu a], \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \, + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \]
\[= \overrightarrow {AB} [\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} ] = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AB} = A{B^2} = 4{R^2}.\]
Bài 11 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 11. Cho hai đường thẳng \[a\] và \[b\] cắt nhau tại \[M\]. Trên \[a\] có hai điểm \[A\] và \[B\], trên \[b\] có hai điểm \[C\] và \[D\] đều khác \[M\] sao cho \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \,\,\]. Chứng minh rằng bốn điểm \[A, B, C, D\] cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn trả lời
Gọi \[[O]\] là đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Gọi \[D'\] là giao điểm của \[b\] với \[[O]\] [ \[{D'} \ne C\]].
Theo giả thiết ta có \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \,\,\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} [\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {M{D'}} ] = 0 \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\,\overrightarrow {{D'}D} = 0\,\,\,\, \cr} \]
\[\Rightarrow \,\overrightarrow {{D'}D} = 0\] [Do \[M, C, D, D'\] cùng thuộc đường thẳng b]
\[\Rightarrow D \equiv {D'}\].
Vậy bốn điểm \[A, B, C, D\] cùng nằm trên một đường tròn.