Câu 80 trang 18 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a] \[[2 - \sqrt 2 ][ - 5\sqrt 2 ] - {[3\sqrt 2 - 5]^2}\];
b] \[2\sqrt {3a} - \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \] với \[a \ge 0\]
Gợi ý làm bài
a]\[[2 - \sqrt 2 ][ - 5\sqrt 2 ] - {[3\sqrt 2 - 5]^2}\]
\[ = - 10\sqrt 2 + 5\sqrt {{2^2}} - [18 - 30\sqrt 2 + 25]\]
\[ = - 10\sqrt 2 + 10 - 18 + 30\sqrt 2 - 25 = 20\sqrt 2 - 33\]
b]\[2\sqrt {3a} - \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \]
\[ = 2\sqrt {3a} - \sqrt {25.3a} + a\sqrt {{{9.3} \over {4a}}} - {2 \over 5}\sqrt {100{a^2}.3a} \]
\[ = 2\sqrt {3a} - 5\sqrt {3a} + {3 \over 2}\sqrt {3a} - 4a\sqrt {3a} \] [với a>0]
Câu 81 trang 18 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a] \[{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }}\]
với \[a \ge 0,b \ge 0\] và \[a \ne b\]
b] \[{{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} - \sqrt {{b^3}} } } \over {a - b}}\] với \[a \ge 0,b \ge 0\] và \[a \ne b\]
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
\[{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} = {{{{\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}^2} + {{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}} \over {\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}}\]
\[ = {{a + 2\sqrt {ab} + b + a - 2\sqrt {ab} + b} \over {a - b}}\]
\[ = {{2[a + b]} \over {a - b}}\] [với \[a \ge 0,b \ge 0\] và \[a \ne b\]]
b] Ta có: \[{{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} - \sqrt {{b^3}} } } \over {a - b}}\]
\[ = {{[a - b][\sqrt a + \sqrt {b]} } \over {{{\left[ {\sqrt a } \right]}^2} - {{\left[ {\sqrt b } \right]}^2}}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}\]
\[ = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}\]
\[ = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b - a\sqrt a + b\sqrt b } \over {a - b}}\]
\[ = {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\] [với \[a \ge 0,b \ge 0\] và \[a \ne b\]]
Câu 82 trang 18 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
a] Chứng mình:
\[{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4}\]
b]Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[{x^2} + x\sqrt 3 + 1\].Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
\[{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}\]
\[\eqalign{
& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left[ {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4} \cr
& = {\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4} \cr} \]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b] Ta có:
\[{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4}\]
Vì \[{\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} \ge 0\] với mọi x nên \[{\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}\]
Giá trị biểu thức \[{\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4}\] bằng \[{1 \over 4}\] khi \[{\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} = 0\]
Suy ra: \[x = - {{\sqrt 3 } \over 2}.\]
Câu 83 trang 19 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ:
a] \[{2 \over {\sqrt 7 - 5}} - {2 \over {\sqrt 7 + 5}}\];
b] \[\,{{\sqrt 7 + 5} \over {\sqrt 7 - 5}} + {{\sqrt 7 - 5} \over {\sqrt 7 + 5}}.\]
Gợi ý làm bài
a] Rút gọn biểu thức ta được\[{{ - 10} \over {9}}$\] là số hữu tỉ.
b]Rút gọn biểu thức ta được12 là số hữu tỉ.