Câu 9 trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có \[\widehat {BAC} = {90^0},AH \bot BC,BC = 5,AH = 2\] và \[BH < CH\]
Ta có: \[BH + CH = 5\] [1]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có:
\[BH.CH = A{H^2} = {2^2} = 4\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[BH = 1\]và \[CH = 4\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[A{B^2} = BH.BC = 1.5 = 5\]
Suy ra: \[AB = \sqrt 5 \].
Câu 10. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có \[\widehat {BAC} = {90^0 },AH \bot BC,BC = 125cm,{{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}\]
Từ \[{{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}\]suy ra: \[{{AB} \over 3} = {{AC} \over 4} \Rightarrow {{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}}\]
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:
\[{{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {9 + 16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {25}}\] [1]
Theo định lí Pi-ta-go, ta có:
\[\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = {125^2} = 15625 \cr} \] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{15625} \over {25}} = 625\] [3]
Từ [3] suy ra :
\[A{B^2} = 9.625 = 5625 \Rightarrow AB = \sqrt {5625} = 75[cm]\]
\[A{C^2} = 16.625 = 10000 \Rightarrow AB = \sqrt {10000} = 100[cm]\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = {{A{B^2}} \over {BC}} = {{{{75}^2}} \over {125}} = 45[cm]\]
\[CH = BC - BH = 125 - 45 = 80[cm]\]
Câu 11. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \[{{AB} \over {AC}} = {5 \over 6}\], đường cao \[AH = 30cm\]. Tính HB, HC.
Gợi ý làm bài:
Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = {90^0}\]
\[\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\] [hai góc cùng phụ \[\widehat {ACB}\]]
Vậy AHBđồng dạng CHA[g.g]
Suy ra: \[{{AH} \over {HC}} = {{AB} \over {CA}}.\] [1]
Theo đề bài: \[{{AB} \over {AC}} = {5 \over 6}\]và \[AH = 30[cm]\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{{30} \over {HC}} = {5 \over 6} \Rightarrow HC = {{30.6} \over 5} = 36[cm]\]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
\[A{H^2} = HB.HC \Rightarrow HB = {{A{H^2}} \over {HC}} = {{{{30}^2}} \over {36}} = 25[cm]\]
Câu 12. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt đất 230km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200km? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng 6370km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH > R.
Gợi ý làm bài:
Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất 230km nên tam giác AOB cân tại O.
Ta có: \[OA = R + 230\]
\[ = 6370 + 230 = 6600[km]\]
Trong tam giác AOB ta có: \[OA \bot AB\]
Suy ra: \[HA = HB = {{AB} \over 2} = {{2200} \over 2} = 1100[km]\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO ta có: \[A{O^2} = A{H^2} + O{H^2}\]
Suy ra: \[O{H^2} = O{A^2} - A{H^2}\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}} \cr
& = \sqrt {{{6600}^2} - {{1100}^2}} = \sqrt {42350000} \approx 6508[km] \cr} \]
Vì \[OH > R\]nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.