Câu 9 trang 161 SGK Đại số 10
Tính
a] \[4[cos{24^0} + \cos {48^0} - \cos {84^0} - \cos {12^0}]\]
b] \[96\sqrt 3 \sin {\pi \over {48}}\cos {\pi \over {48}}\cos {\pi \over {24}}\cos {\pi \over {12}}\cos {\pi \over 6}\]
c] \[\tan {9^0} - \tan {63^0} + \tan {81^0} - \tan {27^0}\]
Trả lời:
a]
\[\eqalign{
& cos{24^0} + \cos {48^0} = \cos [{36^0} - {12^0}] + \cos [{36^0} + {12^0}] \cr
& = 2\cos {36^0}\cos {12^0} \cr
& \cos {84^0} + \cos {12^0} = 2\cos {36^0}\cos {48^0} \cr
& 4[\cos {24^0} + \cos {48^0} - \cos {84^0} - \cos {12^0}] = 8\cos {36^0}[\cos {12^0} - \cos {48^0}] \cr
& = 8\cos {36^0}.2\sin {30^0}.\sin {18^0} = 8\cos {36^0}\sin {18^0} \cr
& = 8\cos {36^0}.\sqrt {{{1 - \cos {{36}^0}} \over 2}} \cr} \]
Đặt \[36^0= x\] ta có:
\[\eqalign{
& sin3x{\rm{ }} = {\rm{ }}sin{\rm{ }}\left[ {{{180}^0} - 3x} \right] = sin2x \cr
& \Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x = 2\sin x\cos x \cr
& \Leftrightarrow 3 - 4[1 - {\cos ^2}x] = 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \cr
& \Leftrightarrow 4co{s^2}x - 2\cos x - 1 = 0 \cr
& \Rightarrow {\mathop{\rm cosx}\nolimits} = \cos {36^0} = {{1 + \sqrt 5 } \over 4} \cr} \]
Vậy :
\[4[cos{24^0} + \cos {48^0} - \cos {84^0} - \cos {12^0}] = 2[1 + \sqrt 5 ]\sqrt {{{3 - \sqrt 5 } \over 8}} = 2\]
b]
\[\eqalign{
& 96\sqrt 3 \sin {\pi \over {48}}\cos {\pi \over {48}}\cos {\pi \over {24}}\cos {\pi \over {12}}\cos {\pi \over 6} \cr
& = 48\sqrt 3 \sin {\pi \over {24}}\cos {\pi \over {24}}\cos {\pi \over {12}}\cos {\pi \over 6} \cr
& = 24\sqrt 3 \sin {\pi \over {12}}\cos {\pi \over {12}}\cos {\pi \over 6} \cr
& = 12\sqrt 3 \sin {\pi \over 6}\cos {\pi \over 6} = 6\sqrt 3 \sin {\pi \over 3} = 9 \cr} \]
c]
\[\eqalign{
& \tan {9^0} - \tan {63^0} + \tan {81^0} - \tan {27^0} \cr
& = {{\cos {{81}^0}} \over {\sin {{81}^0}}} + {{\sin {{81}^0}} \over {\cos {{81}^0}}} - [{{\cos {{27}^0}} \over {\sin {{27}^0}}} + {{\sin {{27}^0}} \over {\cos {{27}^0}}}] \cr
& = {1 \over {\sin {{81}^0}.cos{{81}^0}}} - {1 \over {\sin {{27}^0}.cos{{27}^0}}} \cr
& = {2 \over {\sin {{18}^0}}} - {2 \over {\sin {{54}^0}}} = {2 \over {\cos {{72}^0}}} - {2 \over {\cos {{36}^0}}} \cr
& = {2 \over {2{{\cos }^2}{{36}^0} - 1}} - {2 \over {\cos {{36}^0}}} \cr} \]
Thay \[\cos {36^0} = {{1 + \sqrt 5 } \over 4}\] ta được: \[\tan {9^0} - \tan {63^0} + \tan {81^0} - \tan {27^0} = 4\]
Câu 10 trang 161 SGK Đại số 10
Rút gọn
a] \[\cos {x \over 5}\cos {{2x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5}\]
b] \[\sin {x \over 7} + 2\sin {{3x} \over 7} + \sin {{5x} \over 7}\]
Trả lời:
a] Nhân biểu thức với \[\sin {x \over 5}\],ta có:
\[\eqalign{
& A\sin {x \over 5} = \sin {x \over 5}\cos {x \over 5}\cos {{2x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} \cr
& = {1 \over 2}\sin {{2x} \over 5}\cos {{2x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} \cr
& = {1 \over 4}\sin {{4x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} = {1 \over 8}\sin {{8x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} \cr
& = {1 \over {16}}\sin {{16x} \over 5} \cr} \]
Suy ra biểu thức rút gọn \[A =\sin{{16x} \over 5}:16\sin {x \over 5}\]
b]
\[\eqalign{
& B = \sin {x \over 7} + 2\sin {{3x} \over 7} + \sin {{5x} \over 7} = 2\sin {{3x} \over 7} + [\sin {x \over 7} + \sin {{5x} \over 7}] \cr
& = 2\sin {{3x} \over 7} + 2\sin {1 \over 2}[{{5x} \over 7} + {x \over 7}]cos{1 \over 2}[{{5x} \over 7} - {x \over 7}] \cr
& = 2\sin {{3x} \over 7}[1 + \cos {{2x} \over 7}] = 4\sin {{3x} \over 7}{\cos ^2}{x \over 7} \cr} \]
Câu 11 trang 161 SGK Đại số 10
Chứng minh rằng trong một tam giác \[ABC\] ta có:
a] \[\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C\]
b] \[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\]
Trả lời:
a] Ta có:
\[\eqalign{
& A + B{\rm{ }}C = \pi \Rightarrow A = \pi - [B + C] \cr
& \tan A = \tan \left[ {\pi - [B + C]} \right] = - \tan [B + C] \cr
& = {{\tan B + \tan C} \over {\tan B\tan C - 1}} \cr
& \Rightarrow \tan A[\tan B\tan C - 1] = \tan B + \tan C \cr} \]
đpcm
b]
\[VT= 2\sin[A + B] \cos[A - B]+ 2 \sin C \cos C \]
\[= 2\sin C [\cos [A - B] + \cos C]\]
\[=2\sin C [\cos[A - B] - \cos [A + B]]\]
\[= 4\sin C\sin A \sin B\] [Đpcm]
Câu 12 trang 161 Đại số 10
Không sử dụng máy tính, hãy tính:
\[{{\sin {{40}^0} - \sin {{45}^0} + \sin {{50}^0}} \over {\cos {{40}^0} - \cos {{45}^0} + \cos {{50}^0}}} - {{6[\sqrt 3 + \tan {{15}^0}]} \over {3 - \sqrt 3 \tan {{15}^0}}}\]
Trả lời:
Chú ý rằng: \[sin{45^0} = {\rm{ }}cos{45^0},{\rm{ }}sin{40^0} = {\rm{ }}cos{50^0},{\rm{ }}sin{50^0} = {\rm{ }}cos{40^0}\]
Ta được:
\[\eqalign{
& {{\cos {{50}^0} - \cos {{45}^0} + \cos {{50}^0}} \over {\cos {{40}^0} - \cos {{45}^0} + \cos {{50}^0}}} - {{6.3[{{\sqrt 3 } \over 3} + \tan {{15}^0}]} \over {3[1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\tan {{15}^0}]}} \cr
& = 1 - 6[{{\tan {{30}^0} + \tan {{15}^0}} \over {1 - \tan {{30}^0}.\tan {{15}^0}}}] \cr
& = 1 - 6\tan {45^0} = - 5 \cr} \]