Bài 9 trang 106 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\[{[\sqrt a + \sqrt b ]^2} \ge 2\sqrt {2[a + b]\sqrt {ab} } \]
Gợi ý làm bài
\[{[\sqrt a + \sqrt b ]^2} = a + b + 2\sqrt {ab} \ge 2\sqrt {[a + b].2\sqrt {ab} } \]
Bài 10 trang 106 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\[{1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\]
Gợi ý làm bài
\[[a + b + c][{1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}] = 1 + 1 + 1 + [{a \over b} + {b \over a}] + [{a \over c} + {c \over a}] + [{b \over c} + {c \over b}]\]
\[ \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9 = > {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\]
Bài 11 trang 106 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
\[y = {4 \over x} + {9 \over {1 - x}}\] với 0 < x < 1.
Gợi ý làm bài
\[y = {{4[x + 1 - x]} \over x} + {{9[x + 1 - x]} \over {1 - x}}\]
=\[4 + 9 + {{4[1 - x]} \over x} + 9.{x \over {1 - x}} \ge 13 + 2\sqrt {4.{{[1 - x]} \over x}.9.{x \over {1 - x}}} = 25\]
=> \[y \ge 25,\forall x \in [0;1]\]
Đẳng thức y = 25 xảy ra khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{
{{4[1 - x]} \over x} = {{9x} \over {1 - x}} = 6 \hfill \cr
x \in [0;1] \hfill \cr} \right.\]
hay\[x = {2 \over 5}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đạt tại \[x = {2 \over 5}\].