Câu 92 trang 121 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác cân ABC, AB = AC = 10cm, BC = 16cm. Trên đường cao AH lấy điểm I sao cho$AI = {1 \over 3}AH$.Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D.
a]Tính các góc của tam giác ABC.
b]Tính diện tích tứ giác ABCD.
Gợi ý làm bài
Ta có: \[AH \bot BC\],suy ra: \[HB = HC = {{BC} \over 2} = 8\,[cm]\]
Trong tam giác vuông ABH, ta có:
\[\cos \widehat B = {{HB} \over {AB}} = {8 \over {10}} = 0,8\]
Suy ra: \[\widehat B \approx 36^\circ 52'\]
Vì ABC cân nên \[\widehat B = \widehat C = 36^\circ 52'\]
Ta có:
\[\widehat A = 180^\circ - [\widehat B + \widehat C] = 180^\circ - [36^\circ 52' + 36^\circ 52'] = 106^\circ 16'\]
b]Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:
\[\eqalign{
& A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \cr
& \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {10^2} - {8^2} = 36 \cr} \]
Suy ra: AH = 6 [cm]
Ta có: \[AI = {1 \over 3}.AH = {1 \over 3}.6 = 2\,[cm]\]
Suy ra:IH = AH - AI = 6 - 2 = 4 [cm]
Vì \[IH \bot BC\] và$DC \bot BC$ nên IH // DC [1]
Mặt khác: BH = HC [gt] [2]
Từ [1] và [2] ta có IH là đường trung bình của tam giác BCD
Suy ra: \[IH = {1 \over 2}CD\] hayCD = 2IH = 2.4 = 8 [cm]
Ta có:
\[{S_{ABH}} = {1 \over 2}AH.BH = {1 \over 2}.6.8 = 24\,\,\left[ {c{m^2}} \right]\]
\[{S_{AHCD}} = {{AH + CD} \over 2}.HC = {{6 + 8} \over 2}.8 = 56\,\left[ {c{m^2}} \right]\]
Vậy \[{S_{ABCD}} = S{ _{ABH}} + {S_{AHCD}} = 24 + 56 = 80\,\][cm2]
Câu 93 trang 121 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC. Biết : AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
a]Chứng minh tam giác ABC vuông.
b]Tính sinB, sinC.
Gợi ý làm bài
a] Ta có: \[A{B^2} = {21^2} = 441\]
\[A{C^2} = {28^2} = 784\]
\[B{C^2} = {35^2} = 1225\]
Vì \[A{B^2} + A{C^2} = 441 + 784 = 1225 = B{C^2}\]nên tam giác ABC vuông tại A [ theo định lí đảo Pi-ta-go].
b] Ta có:
\[\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {{28} \over {35}} = {4 \over 5} = 0,8\]
\[\sin \widehat C = {{AB} \over {BC}} = {{21} \over {35}} = {3 \over 5} = 0,6\]
Câu 94 trang 122 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hình thang ABCD. Biết hai đáy AB = a và CD = 2a, cạnh bên AD = a, \[\widehat A = 90^\circ \]
a]Chứng minh \[tg\widehat C = 1.\]
b]Tính tỉ số diện tích tam giác BCD và diện tích hình thang ABCD.
c]Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD.
Gợi ý làm bài
a] Kẻ \[BH \bot CD\]
Ta có: AB // CD và \[\widehat A = 90^\circ \]
Suy ra: \[\widehat D = 90^\circ \]
Tứ giác ABHD có ba góc vuông và AB = AD = a nên là hình vuông.
Suy ra:DH = BH = AB = a
Ta có: CD = DH + HC
Suy ra: HC = CD DH = 2a a = a
Vậy \[tg\widehat C = {{BH} \over {CH}} = {a \over a} = 1\]
b]Ta có: \[{S_{BCD}} = {1 \over 2}BH.CD = {1 \over 2}a.2a = {a^2}\] [đvdt]
\[{S_{ABCD}} = {{AB + CD} \over 2}.AD = {{a + 2a} \over 2}.a = {3 \over 2}{a^2}\] [đvdt]
Vậy \[{{{S_{BCD}}} \over {{S_{ABCD}}}} = {{{a^2}} \over {{3 \over 2}{a^2}}} = {1 \over {{3 \over 2}}} = {2 \over 3}.\]
c]Ta có: \[{S_{ABC}} = {1 \over 2}a.a = {1 \over 2}{a^2}\] [đvdt]
Vậy \[{{{S_{ABC}}} \over {{S_{BCD}}}} = {{{1 \over 2}{a^2}} \over {{a^2}}} = {1 \over 2}\]
Câu 95 trang 122 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC có góc B bằng \[120^\circ \],BC = 12cm, AB = 6cm. đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.
a]Tính độ dài đường phân giác BD.
b]Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh \[AM \bot BD.\]
Gợi ý làm bài
a]Ta có:
\[\widehat {ABD} = \widehat {CBD} = {{\widehat {ABC}} \over 2} = {{120^\circ } \over 2} = 60^\circ \]
Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E.
Lại có:
\[\widehat {BAE} = \widehat {ABD} = 60^\circ \] [so le trong]
\[\widehat {CBD} = \widehat {AEB} = 60^\circ \] [đồng vị]
Suy ra tam giác ABE đều
\[ \Rightarrow AB = BE = EA = 6\,[cm]\,\,[1]\]
Khi đó: CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 [cm]
Tam giác ACE có AE // BD nên suy ra:
\[\eqalign{
& {{BC} \over {CE}} = {{BD} \over {AE}} \cr
& \Rightarrow BD = {{BC.AE} \over {CE}} = {{12.6} \over {18}} = 4\,[cm] \cr} \]
b]Ta có:
\[MB = MC = {1 \over 2}.BC = {1 \over 2}.12 = 6\,[cm]\,\,[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[BM = AB \Rightarrow \] ABM cân tại B.
Tam giác cân ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao [tính chất tam giác cân]. Vậy \[BD \bot AM\]