Đề số 3 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 11
Hỏi lúc:
10-12-2023
Trả lời:
0
Lượt xem:
0
Cùng xem hướng dẫn giải Đề số 3 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 11 trong nhóm bài học Đề ôn tập học kì 2 – Có đáp án và lời giải,
Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 3 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 11
Đề bài PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (5 điểm)
Câu 1 (NB): Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - \sqrt {x + 3} }}{{x + 1}}\) bằng:
A. \( + \infty \) B. \(1\)
C. \( - \infty \) D. \(0\)
Câu 2 (TH): Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 2}}\) . Giá trị \(f'\left( 1 \right)\) bằng
A. \(5\) B. \( - 3\)
C. \(4\) D. \( - 5\)
Câu 3 (TH): Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. \( - 1\) D. \(1\)
Câu 4 (TH): Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng \(2?\)
A. \(\lim \frac{{n + 1}}{{2n - 1}}\)
B. \(\lim \frac{{1 - 4n}}{{2n + 3}}\)
C. \(\lim \frac{{2n + 3}}{{n - 5}}\)
D. \(\lim \frac{{{n^2} + 2n + 3}}{{{n^2} - 2n + 2}}\)
Câu 5 (TH): Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Số tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị \(\left( C \right)\) là
A. \(1\) B. \(2\)
C. \(3\) D. \(0\)
Câu 6 (VD): Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Tam giác \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(a.\) Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng:
![]() A. \(a\) B.\(\frac{a}{2}\)
C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Câu 7 (VD): Nếu \(f\left( x \right) = x\sin x\) thì \(f'\left( {\frac{{7\pi }}{2}} \right)\) bằng
A. \( - 1\) B. \(\frac{{7\pi }}{2}\)
C. \(1\) D. \(7\pi \)
Câu 8 (TH): Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2018} \frac{{{x^2} - 2019x + 2018}}{{x - 2018}}\) bằng
A. \(2020\) B. \(2017\)
C. \(2019\) D. \(2018\)
Câu 9 (TH): Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {\sin x + 2} \) bằng
A. \(y' = \frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x + 2} }}\)
B. \(y' = - \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x + 2} }}\)
C. \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\sin x + 2} }}\)
D. \(y' = \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x + 2} }}\)
Câu 10 (VD): Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 2018x - \cos 2019x}}{x}\) bằng
A. \(0\) B. \( + \infty \)
C. \( - \infty \) D. \(\frac{{4037}}{2}\)
Câu 11 (VD): Giả sử \(M\) là điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 1\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(M\) có hệ số góc dương.
B. Góc giữa tiếp tuyến tại \(M\) và trục hoành bằng \({60^0}\).
C. Đồ thị \(\left( C \right)\) không có tiếp tuyến tại \(M\).
D. Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(M\) vuông góc với đường thẳng \(\left( d \right):x - 9y = 0\).
Câu 12 (TH): Với \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau tùy ý, mệnh đề nào sau đây sai?
A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(b\) sao cho \(a \bot \left( P \right)\)
B. \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng phân biệt
C. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(b\) sao cho \(a//\left( P \right)\)
D. Nếu \(\Delta \) là đường thẳng vuông góc chung của \(a\) và \(b\) thì \(\Delta \) cắt cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Câu 13 (VD): Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{{x^2} - 1}},x > 1\\ax + 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \le 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(a\) để hàm số liên tục tại \(x = 1\) là
A. \(a = - \frac{{17}}{8}\) B. \(a = \frac{{15}}{8}\)
C. \(a = - \frac{{15}}{8}\) D. \(a = \frac{{17}}{8}\)
Câu 14 (VD): Cho hình chóp \(S.ABC,D\) là trung điểm của đoạn \(SA.\) Gọi \({h_1};{h_2}\) lần lượt là khoảng cách từ \(S\) và \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\) Tỉ số \(\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}\) bằng
![]() A. \(\frac{1}{3}\) B.\(3\) C. \(2\) D. \(\frac{1}{2}\)
Câu 15 (VD): Hình chóp đều \(S.ABCD\) có \(SA = AB = a\). Cosin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) bằng
![]() A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) B. \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(\frac{1}{3}\) D. \( - \frac{1}{3}\)
Câu 16 (VD): Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là
A. \(\mathbb{R}\) B. \(\emptyset \)
C. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) D. \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Câu 17 (VD): Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,C'D'\) và \(D'A'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(PQ\) bằng
![]() A. \(a\) B. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) D. \(a\sqrt 2 \)
Câu 18 (TH): Đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {{x^3}} \right)\) là
A. \(y' = 3{x^2}\sin \left( {{x^3}} \right)\)
B. \(y' = 3{x^2}\cos \left( {{x^3}} \right)\)
C. \(y' = 3\cos \left( {{x^2}} \right)\)
D. \(y' = 3{x^2}\cos \left( {{x^2}} \right)\)
Câu 19 (VD): Giới hạn \(\lim \frac{{{{12}^n} - {{11}^n}}}{{{4^n} + {{4.12}^n} + 3}}\) bằng
A. \(\frac{1}{{12}}\) B. \(\frac{1}{4}\)
C. \( + \infty \) D. \(0\)
Câu 20 (TH): Trong không gian cho hai đường thẳng \(a,b\) và mặt phẳng \(\left( P \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu \(a\) và \(b\) phân biệt, cùng song song với \(\left( P \right)\) thì \(a\) và \(b\) song song với nhau
B. Nếu \(b\) song song với \(\left( P \right)\) và \(a\) vuông góc với \(\left( P \right)\) thì \(a\) vuông góc với \(b\)
C. Nếu \(a\) và \(b\) cùng vuông góc với \(\left( P \right)\) thì \(a\) và \(b\) song song với nhau
D. Nếu \(b\) và \(\left( P \right)\) cùng vuông góc với \(a\) thì \(b\) song song với \(\left( P \right)\)
PHẦN II: TỰ LUẬN (5 điểm)
Câu 21 (VD) (1 điểm): Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2x + \sqrt {3 - {x^2}} .\) Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0.\)
Câu 22 (VD) (1,5 điểm): Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 6\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:y = \frac{1}{6}x - 1.\)
Câu 23 (VD) (2,5 điểm): Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(AB = \sqrt 3 a,AD = a,SA = a\).
a) Chứng minh tam giác \(SDC\) vuông.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
c) Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Lời giải chi tiết PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (5 điểm)
Câu 1:
Phương pháp
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định tại \(x = {x_0}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Cách giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - \sqrt {x + 3} }}{{x + 1}} = \frac{{2.1 - \sqrt {1 + 3} }}{{1 + 1}} = 0\).
Chọn D.
Câu 2:
Phương pháp
+) Tính \(f'\left( x \right)\) theo công thức \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - v'u}}{{{v^2}}}\)
+) Thay \(x = 1\) vào \(f'\left( x \right)\) để tính \(f'\left( 1 \right).\)
Cách giải:
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 2}}\) (ĐK: \(x \ne 2\))
Suy ra \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{{x - 2}}} \right)^\prime }\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^\prime }\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{2x\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)
\( = \frac{{2{x^2} - 4x - {x^2} - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
Suy ra \(f'\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} - 4.1 - 2}}{{{{\left( {1 - 2} \right)}^2}}} = - 5\)
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp
Đặt \({x^2}\) làm nhân tử chung và tính các giới hạn.
Cách giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} - 3x + 1} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \right]\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty \).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) = + \infty \).
Chọn A.
Câu 4:
Phương pháp
Tính từng giới hạn bằng cách chia cả tử và mẫu cho \(n\) (đối với A, B, C), chia tử và mẫu cho \({n^2}\) (đối với câu D) rồi sử dụng giới hạn \(\lim \frac{1}{n} = 0;\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\) để tính toán.
Cách giải:
+ Đáp án A : \(\lim \frac{{n + 1}}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}}{{\frac{{2n}}{n} - \frac{1}{n}}}\)\( = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{2 - \frac{1}{n}}} = \frac{1}{2} \ne 2\) nên loại A.
+ Đáp án B : \(\lim \frac{{1 - 4n}}{{2n + 3}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} - \frac{{4n}}{n}}}{{\frac{{2n}}{n} + \frac{3}{n}}}\)\( = \lim \frac{{\frac{1}{n} - 4}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{{ - 4}}{2} = - 2 \ne 2\) nên loại B.
+ Đáp án C : \(\lim \frac{{2n + 3}}{{n - 5}} = \lim \frac{{\frac{{2n}}{n} + \frac{3}{n}}}{{\frac{n}{n} - \frac{5}{n}}}\)\( = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n}}}{{1 - \frac{5}{n}}} = \frac{2}{1} = 2\) nên chọn C.
+ Đáp án D : \(\lim \frac{{{n^2} + 2n - 3}}{{{n^2} - 2n + 2}}\)\( = \lim \frac{{\frac{{{n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{2n}}{n} - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{\frac{{{n^2}}}{{{n^2}}} - \frac{{2n}}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^2}}}}}\) \( = \lim \frac{{1 + \frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{1 - \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = 1 \ne 2\) nên loại D.
Chọn C.
Câu 5:
Phương pháp
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) song song với trục hoành nếu có hệ số góc \(k = f'\left( {{x_0}} \right) = 0\)
Cách giải:
Ta có: \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\)\( \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4x\).
Gọi \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm. Để tiếp tuyến tại \(M\) song song với trục hoành thì \(k = f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x_0^3 - 4{x_0} = 0\)\( \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \pm 1\end{array} \right.\) .
Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = - 1\) ta có điểm \(M\left( {0; - 1} \right)\).
\( \Rightarrow \) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {0; - 1} \right)\) có phương trình \(y = 0\left( {x - 0} \right) - 1\) hay \(y = - 1\).
Với \({x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0} = - 2\) ta có điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\).
\( \Rightarrow \) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) có phương trình \(y = 0\left( {x + 1} \right) - 2\) hay \(y = - 2\).
Với \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 2\) ta có điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\).
\( \Rightarrow \) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {1; - 2} \right)\) có phương trình \(y = 0\left( {x - 1} \right) - 2\) hay \(y = - 2\).
Do đó có \(2\) tiếp tuyến cần tìm là \(y = - 1\) và \(y = - 2\).
Chọn B.
Chú ý khi giải :
Một số em sau khi tính ra \(3\) giá trị \({x_0}\) mà không viết phương trình tiếp tuyến rồi chọn ngay đáp án C là sai. Cần chú ý kiểm tra, ở đây hai tiếp tuyến tại các điểm \(\left( {1; - 2} \right)\) và \(\left( { - 1; - 2} \right)\) là trùng nhau.
Câu 6:
Phương pháp
Ta sử dụng kiến thức \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a\\a \bot d,a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\) để tìm chiều cao hình chóp
Chỉ ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) rồi xác định đoạn vuông góc chung của \(SA\) và \(BC.\)
Từ đó khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là đoạn \(BK\) với \(BK \bot SA\) tại \(K.\)
Cách giải:
![]() Gọi \(H\) là trung điểm đoạn \(AB\). Khi đó \(SH \bot AB\) (do tam giác \(SAB\) đều)
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\,\left( {gt} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BA\\SH \bot AB\left( {cmt} \right);\,SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot BC\)
Mà \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)
Trong tam giác \(SAB\), lấy \(K\) là trung điểm \(SA \Rightarrow BK \bot SA\) (do tam giác \(SAB\) đều) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BK\left( {do\,BC \bot \left( {SAB} \right)} \right)\\BK \bot SA\end{array} \right.\) nên \(BK\) là đoạn vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\)
Mà \(BK\) là đường trung tuyến trong tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(BK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Hay khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là \(BK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Chọn C.
Câu 7:
Phương pháp
- Tính \(f'\left( x \right)\), sử dụng công thức đạo hàm của một tích \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\) và công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản.
- Thay \(x = \frac{{7\pi }}{2}\) vào tính \(f'\left( {\frac{{7\pi }}{2}} \right)\).
Cách giải:
\(f\left( x \right) = x\sin x\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {x\sin x} \right)'\)\( = \left( x \right)'\sin x + x\left( {\sin x} \right)'\) \( = \sin x + x\cos x\)
Do đó \(f'\left( {\frac{{7\pi }}{2}} \right) = \sin \frac{{7\pi }}{2} + \frac{{7\pi }}{2}.\cos \frac{{7\pi }}{2}\)\( = - 1 + \frac{{7\pi }}{2}.0 = - 1\) .
Chọn A.
Câu 8:
Phương pháp
Phân tích tử thức thành nhân tử để khử dạng vô định
Cách giải:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2018} \frac{{{x^2} - 2019x + 2018}}{{x - 2018}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2018} \frac{{\left( {x - 2018} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2018}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2018} \left( {x - 1} \right)\) \( = 2018 - 1 = 2017\)
Chọn B.
Câu 9:
Phương pháp
Đạo hàm hàm hợp \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).
Cách giải:
Ta có: \(y' = \left( {\sqrt {\sin x + 2} } \right)'\)\( = \frac{{\left( {\sin x + 2} \right)'}}{{2\sqrt {\sin x + 2} }}\) \( = \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x + 2} }}\)
Chọn D.
Câu 10:
Phương pháp
Sử dụng công thức \(\cos a - \cos b\)\( = - 2\left( {\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) - \sin \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)} \right)\) và công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\) để khử dạng vô định.
Cách giải:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 2018x - \cos 2019x}}{x}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2\sin \frac{{4037x}}{2}.\sin \left( { - \frac{x}{2}} \right)}}{x}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sin \frac{{4037x}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}\)
\( = 0.1 = 0\)
Chọn A.
Câu 11:
Phương pháp
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\) theo công thức \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).
- Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án và kết luận.
Cách giải:
Ta có: \(M\left( {1; - 4} \right)\), \(y' = 3{x^2} - 12x\)\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = {3.1^2} - 12.1 = - 9\) .
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {1; - 4} \right)\) có phương trình:
\(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) - 4\)\( = - 9\left( {x - 1} \right) - 4\) hay \(y = - 9x + 5\).
+ Hệ số góc \(k = - 9 < 0\) nên A sai.
+ Góc tạo bởi tiếp tuyến với \(Ox\) thỏa mãn \(\tan \alpha = - 9 \Leftrightarrow \alpha \approx {96^0}20'\) nên B sai.
+ Đáp án C sai.
+ \(\left( d \right):x - 9y = 0\) \( \Leftrightarrow y = \frac{1}{9}x\) có hệ số góc \(k = \frac{1}{9}\).
Dễ thấy \(\frac{1}{9}.\left( { - 9} \right) = - 1\) nên tiếp tuyến vuông góc với \(\left( d \right)\).
Chọn D.
Câu 12:
Phương pháp
Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng lý thuyết hai đường thẳng chéo nhau.
Cách giải:
Đáp án A: Giả sử \(a,b\) chéo nhau tùy ý và tồn tại mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(b\) và \(a \bot \left( P \right)\).
Khi đó \(a \bot b\). Diều này chưa chắc đúng do giả thiết chưa cho \(a \bot b\) nên A sai.
Chọn A.
Câu 13:
Phương pháp
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Cách giải:
Ta có: \(f\left( 1 \right) = a + 2\).
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = a + 2\).
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 3 - 4}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}}\) \( = \frac{1}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + 3} + 2} \right)}} = \frac{1}{8}\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \frac{1}{8}\)
Hàm số liên tục tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow a + 2 = \frac{1}{8}\) \( \Leftrightarrow a = - \frac{{15}}{8}\).
Chọn C.
Câu 14:
Phương pháp :
Sử dụng tỉ lệ khoảng cách:
Nếu đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại \(M\) thì ta có \(\frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}} = \frac{{AM}}{{BM}}\)
![]() Cách giải:
Ta có đường thẳng \(SD\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tại \(A\) nên \(\frac{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \frac{{SA}}{{DA}} = 2\)
Hay \(\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}} = 2.\)
Chọn C.
Câu 15:
Phương pháp
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
Cách giải:
![]() Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\).
Do \(S.ABCD\) đều nên \(SA = SB = SC = SD\). Mà \(SA = AB = a\) nên các tam giác \(SAB,SAD\) là tam giác đều.
Khi đó \(BM \bot SA,DM \bot SA\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\\BM \subset \left( {SAB} \right),DM \subset \left( {SAD} \right)\\BM \bot SA,DM \bot SA\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) bằng \(\widehat {\left( {BM,DM} \right)} = \alpha \).
Dễ thấy \(BM = DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},BD = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow \cos \widehat {BMD} = \frac{{B{M^2} + D{M^2} - B{D^2}}}{{2BM.DM}}\) \( = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - 2{a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = - \frac{1}{3}\).
\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{3}\)
Chọn C.
Câu 16:
Phương pháp
Tính \(f'\left( x \right)\) theo công thức \({\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}\)
Rồi giải bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\)
Cách giải:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
|