Đề số 4 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
Hỏi lúc:
07-12-2023
Trả lời:
0
Lượt xem:
0
Cùng xem hướng dẫn giải Đề số 4 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12 trong nhóm bài học Đề ôn tập học kì 2 – Có đáp án và lời giải,
Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 4 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 12
Đề bài Câu 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là:
A. \(S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|\)
B. \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
C. \(S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
D. \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Câu 2: Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) là:
A. \( - 1 + 2i.\) B. \(1 - 2i.\)
C. \( - 1 - 2i.\) D. \(1 + 2i.\)
Câu 3: Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = 0,\) \(x = \pi ,\) \(y = 0\) và \(y = - \cos x\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:
A. \(V = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx} \)
B. \(V = \pi \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \)
C. \(V = \pi \left| {\int\limits_0^\pi {\left( { - \cos x} \right)dx} } \right|\)
D. \(V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx} \)
Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( { - 2;5;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow n \) làm vecto pháp tuyến là
A. \( - 2x + 5y + 2z - 28 = 0\)
B. \(x - 4y - 3z + 28 = 0\)
C. \(x - 4y - 3z - 28 = 0\)
D. \( - 2x + 5y + 2z + 28 = 0\)
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3\) là:
A. \(3{x^3} - 2{x^2} + 3x + C.\)
B. \({x^3} - {x^2} + C.\)
C. \({x^3} - {x^2} + 3x + C.\)
D. \(6x - 2 + C.\)
Câu 6: Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),\) \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và các đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là:
A. \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .\)
B. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)
C. \(\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .} \right|\)
D. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx - \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|dx} .} .\)
Câu 7: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;9} \right]\), thỏa mãn \(\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx = 7} \) và \(\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx = 3} \). Tính giá trị biểu thức \(P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.} \)
A. \(P = 4\). B. \(P = 3\).
C. \(P = 10\). D. \(P = 2\).
Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\). Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy.
A. \(A'\left( {2;0;5} \right)\)
B. \(A'\left( {0;3;5} \right)\)
C. \(A'\left( {0;3;0} \right)\)
D. \(A'\left( {2;0;0} \right)\)
Câu 9: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1; - 2} \right).\)
A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\)
B. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}.\)
C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}.\)
D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{{ - 2}}\)
Câu 10: Gọi \({z_1};\,\,{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{z^2} + 10z + 13 = 0\), trong đó \({z_1}\) có phần ảo dương. Số phức \(2{z_1} + 4{z_2}\) bằng
A. \(1 - 15i.\) B. \( - 15 + i\)
C. \( - 15 - i\) D. \( - 1 - 15i\)
Câu 11: Số phức \(z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}\) có phần thực là
A. 3. B. 1.
C. \( - 3\). D. \( - 1.\)
Câu 12: Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\) là:
A. \(\overrightarrow n = \left( { - 5;1; - 2} \right)\)
B. \(\overrightarrow n = \left( { - \frac{1}{5}; - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)
C. \(\overrightarrow n = \left( {2; - 10;5} \right)\)
D. \(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 10;20} \right)\)
Câu 13: Phần thực của số phức \(\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)\) là:
A. 4. B. 5.
C. 3. D. 0.
Câu 14: Cho các số phức \({z_1} = 3 + 4i,\) \({z_2} = 5 - 2i\). Tìm số phức liên hơp \(\overline z \) của số phức \(z = 2{z_1} + 3{z_2}\).
A. \(\overline z = 8 - 2i.\)
B. \(\overline z = 21 - 2i.\)
C. \(\overline z = 21 + 2i.\)
D. \(\overline z = 8 + 2i.\)
Câu 15: Trong không gian Oxyz, các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow k \) cho điểm
\(M\left( {3; - 4;12} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(\overrightarrow {OM} = - 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \)
B. \(\overrightarrow {OM} = - 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - 12\overrightarrow k \)
C. \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \)
D. \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \)
Câu 16: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;1;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(x + y + 3z + 5 = 0\) có phương trình là
A. \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{2}\)
B. \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)
C. \(\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\)
D. \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\)
Câu 17: \(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx} \) bằng
A. \(\frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\)
B. \( - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\)
C. \({e^{ - 2x + 1}} + C.\)
D. \( - 2{e^{ - 2x + 1}} + C.\)
Câu 18: Tính môđun \(\left| z \right|\) của số phức \(z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1\).
A. \(\left| z \right| = 17.\)
B. \(\left| z \right| = \sqrt {15} .\)
C. \(\left| z \right| = 3.\)
D. \(\left| z \right| = \sqrt {17} .\)
Câu 19: Cho \({z_1};\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\), biết \({z_1} - {z_2}\) có phần ảo là số thực âm. Tìm phần ảo của số phức \({\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2\).
A. 3. B. \( - 12.\)
C. \( - 3.\) D. \(12.\)
Câu 20: Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x + 3}}{x}dx} \). Nếu đặt \(t = \ln x\) thì:
A. \(I = \int\limits_1^e {\left( {2t + 3} \right)dt} .\)
B. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t} \right)dt} .\)
C. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3} \right)dt} .\)
D. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2\ln t + 3} \right)dt} .\)
Câu 21: Cho hai hàm số \(y = g\left( x \right)\) và \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;c} \right]\) có đồ thị như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên được tính theo công thức:
![]() A. \(S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \)\( + \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx.} \)
B. \(S = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
C. \(S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \)\( - \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx.} \)
D. \(S = \left| {\int\limits_a^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\)
Câu 22: Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx} = a\ln 2 + b\) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Khi đó \({b^2} - 2a\) bằng
A. 33. B. 26.
C. 17. D. 6.
Câu 23: Cho hai số phức \({z_1} = - 1 + 2i;\) \({z_2} = 1 + 2i\). Tinh \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\)
A. \(T = 2\sqrt 5 \) B. \(T = 4\)
C. \(T = 10\) D. \(T = 7\)
Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 12z + 5 = 0\) và điểm \(A\left( {2;4; - 1} \right)\). Trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) lấy điểm M. Gọi B là điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AM} \). Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng \(\left( P \right)\).
A. \(d = 9.\) B. \(d = \frac{{30}}{{13}}.\)
C. \(d = 6.\) D. \(d = \frac{{66}}{{13}}.\)
Câu 25: Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx = - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}} \) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}\), phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(T = a + b + c.\)
A. \(T = 156.\) B. \(T = 62.\)
C. \(T = 159.\) D. \(T = 167.\)
Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 7 = 0\) theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là:
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 81\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\)
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\)
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {3;4; - 5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x + 6y - 3z + 4 = 0\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) là:
A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = \frac{{361}}{{49}}\)
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\)
C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 49\)
D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = \frac{{361}}{{49}}\)
Câu 28: Trong không gian Oxyz, biết \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và chứa trục Ox. Tính \(k = \frac{b}{c}.\)
A. \(k = - 5.\) B. \(k = \frac{1}{5}\)
C. \(k = 5.\) D. \(k = - \frac{1}{5}\)
Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\).
A. \(S = \frac{{81}}{{12}}\) B. \(S = 13\)
C. \(S = \frac{9}{4}\) D. \(S = \frac{{37}}{{12}}\)
Câu 30: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x = - 1,\) \(x = 5\) bằng:
A. \(\frac{{49}}{3}\) B. 18
C. \(\frac{{65}}{3}\) D. 36
Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0;1; - 1} \right),\) \(B\left( {1;1;2} \right),\) \(C\left( {1; - 1;0} \right)\) và \(D\left( {0;0;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm A và khối tứ diện ABCD bằng \(\frac{1}{{27}}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
A. \( - y + z - 4 = 0\)
B. \(y - z - 1 = 0\)
C. \(y + z - 4 = 0\)
D. \(3x - 3z - 4 = 0\)
Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;0;1} \right),\) \(B\left( {0;2;0} \right),\) \(C\left( {3;0;0} \right)\). Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính \(k = x + 2y + z.\)
A. \(k = \frac{{66}}{{49}}\) B. \(k = \frac{{36}}{{29}}\)
C. \(k = \frac{{74}}{{49}}\) D. \(k = \frac{{12}}{7}\)
Câu 33: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^{2x}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 2\) được biểu diễn bởi \(\frac{{{e^a} - b}}{c}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(P = a + 3b - c.\)
A. \(P = 5.\) B. \(P = - 1\)
C. \(P = 6\) D. \(P = 3\)
Câu 34: Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) biết phương trình \(F\left( x \right) = 0\) có một nghiệm bằng \(\frac{\pi }{4}.\)
A. \(F\left( x \right) = \tan x - 1\)
B. \(F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1\)
C. \(F\left( x \right) = \tan x + x + \frac{\pi }{4} - 1\)
D. \(F\left( x \right) = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 4\)
Câu 35: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {1;4;4} \right)\) và \(B\left( { - 1;0;2} \right).\)
A. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\)
B. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\)
C. \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\)
D. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\)
Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) và song song với đường thẳng d có phương trình là:
A. \(\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)
B. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\)
C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)
D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
Câu 37: Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết \(A\left( {2;0;0} \right),\) \(B\left( {0;3;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;4} \right)\)
A. \(S = 2\sqrt {61} \) B. \(S = \frac{{\sqrt {61} }}{2}\)
C. \(S = \frac{{\sqrt {61} }}{3}\) D. \(S = \sqrt {61} \)
Câu 38: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x \cos \frac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \frac{\pi }{2},\,\,x = \pi \). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng \(\left( H \right)\) quay xung quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{\pi }{6}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi - 8} \right)\)
B. \(V = \frac{\pi }{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi - 8} \right)\)
C. \(V = \frac{\pi }{8}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi - 8} \right)\)
D. \(V = \frac{1}{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi - 8} \right)\)
Câu 39: Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức \(z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}}\) là:
A. \(\overline z = - 2 - 10i\)
B. \(\overline z = - 1 + 5i\)
C. \(\overline z = - 2 + 10i\)
D. \(\overline z = - 1 - 5i\)
Câu 40: Tính tích phân \(I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} .\)
A. \(I = 19\) B. \(I = 38\)
C. \(I = \frac{{670}}{3}\) D. \(I = \frac{{38}}{3}\)
Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\) và \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng OM.
A. \(OM = \sqrt {35} \) B. \(OM = 2\sqrt {35} \)
C. \(OM = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) D. \(OM = \sqrt 5 \)
Câu 42: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = - {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 4\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(S = \pi \int\limits_0^4 {{3^{2x}}dx} \)
B. \(S = \int\limits_0^4 {\left( { - {3^x}} \right)dx} \)
C. \(S = \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \)
D. \(S = \pi \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \)
Câu 43: Gọi z là số phức có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \). Biết \(z = a + bi\) với\(a,\,\,b \in \mathbb{R}\), tính \(m = 2{a^2} - 3b.\)
A. \(m = 14.\) B. \(m = - 18.\)
C. \(m = - 10.\) D. \(m = 54.\)
Câu 44: Cho phương trình \({x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0\) (với phân số \(\frac{c}{d}\) tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A; B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ). Tính \(P = c + 2d.\)
A. \(P = - 14\) B. \(P = 22\)
C. \(P = 18\) D. \(P = - 10\)
Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - 6y - 4z + 7 = 0\) và ba điểm \(A\left( {2;4; - 1} \right);\) \(B\left( {1;4; - 1} \right);\) \(C\left( {2;4;3} \right)\). Gọi S là điểm nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(SA = SB = SC\). Tính \(l = SA + SB\). A. \(l = \sqrt {53} \)
B. \(l = \sqrt {37} \)
C. \(l = \sqrt {117} \)
D. \(l = \sqrt {101} \)
Câu 46: Biết \(\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{a}{b}\ln a - c\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên tố, c là số nguyên dương. Tính \(T = a + b + c.\)
A. \(T = 27.\) B. \(T = 35.\)
C. \(T = 23.\) D. \(T = 11.\)
Câu 47: Trên tập số phức, phương trình \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\) có một nghiệm là
A. \(z = 3 - {2019^{2020}}i\)
B. \(z = 3 - {2019^{1010}}i\)
C. \(z = 3 + {2019^{1010}}i\)
D. \(z = 3 + {2019^{2020}}i\)
Câu 48: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\)
A. \(I\left( {2; - 1; - 1} \right);R = 9\)
B. \(I\left( { - 2;1;1} \right);R = 9\)
C. \(I\left( { - 2;1;1} \right);R = 3\)
D. \(I\left( {2; - 1; - 1} \right);R = 3\)
Câu 49: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục hoành được viết dưới dạng \(\frac{\pi }{a}\left( {b.{e^3} - 2} \right)\) với a và b là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(T = a - {b^2}.\)
A. \(T = 2.\) B. \(T = - 12.\)
C. \(T = - 1.\) D. \(T = - 9.\)
Câu 50: Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{a - be}}{a}} \) với a là số nguyên tố. Tính \(S = 2{a^2} + b.\)
A. \(S = 19.\) B. \(S = 241.\)
C. \(S = 99.\) D. \(S = 9.\) Lời giải chi tiết
Câu 1 (NB)
Phương pháp:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Cách giải:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Chon B.
Câu 2 (NB)
Phương pháp:
Tìm hai nghiệm phức của phương trình, sử dụng MTCT.
Cách giải:
Phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm phức có phần ảo dương là \(z = 1 + 2i.\)
Chọn D.
Câu 3 (NB)
Phương pháp:
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = a,\) \(x = b,\) \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Cách giải:
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = a,\) \(x = b,\) \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\left( { - \cos x} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx} .\)
Chọn D.
Câu 4 (NB)
Phương pháp:
Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Cách giải:
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 2;5;2} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \( - 2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 4} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 5y + 2z + 28 = 0.\)
Chọn D.
Câu 5 (NB)
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne - 1} \right)\).
Cách giải:
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} - 2x + 3} \right)dx} \).
|