Đề số 6 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
Hỏi lúc:
07-12-2023
Trả lời:
0
Lượt xem:
0
Cùng xem hướng dẫn giải Đề số 6 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12 trong nhóm bài học Đề ôn tập học kì 2 – Có đáp án và lời giải,
Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 12
Đề bài Câu 1: Cho các số phức \({z_1} = 1 + 3i\), \({z_2} = - 5 - 3i\). Tìm điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \({z_3}\), biết rằng trong mặt phẳng phức điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) và môđun của số phức \(w = 3{z_3} - {z_2} - 2{z_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \(M\left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\) B. \(M\left( {\frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\)
C. \(M\left( {\frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\) D. \(M\left( { - \frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\)
Câu 2: Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), \(B\left( {2;1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z + 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(A,\,\,B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là:
A. \(x + y + z - 2 = 0\)
B. \(3x - 2y - z - 3 = 0\)
C. \(3x - 2y - z + 3 = 0\)
D. \( - x + y = 0\)
Câu 3: Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) là:
A. \(I\left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(R = 5\)
B. \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \)
C. \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và \(R = 5\)
D. \(I\left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \)
Câu 4: Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 4z + 9 = 0\). Giả sử \(M,\,\,N\) là các điểm biểu diễn hình học của \({z_1},\,\,{z_2}\) trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của \(MN\) là:
A. \(\sqrt 5 \) B. \(4\)
C. \(2\sqrt 5 \) D. \(5\)
Câu 5: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\). Đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có bán kính là:
A. \(\sqrt 5 \) B. \(4\)
C. \(2\sqrt 5 \) D. \(5\)
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Hình chiếu của \(M\) trên trục \(Oy\) là:
A. \(Q\left( {0;2;0} \right)\)
B. \(S\left( {0;0;3} \right)\)
C. \(R\left( {1;0;0} \right)\)
D. \(P\left( {1;0;3} \right)\)
Câu 7: Tìm số phức \(z\) biết: \(\left( {1 - i} \right)z - 1 + 5i = 0\).
A. \(z = - 3 - 2i\)
B. \(z = 3 - 2i\)
C. \(z = 3 + 2i\)
D. \(z = - 3 + 2i\)
Câu 8: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) lần lượt biểu diễn ba số phức \({z_1} = 1 + i\), \({z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2}\) và \({z_3} = a - i\). Để tam giác ABC vuông tại B thì a bằng:
A. \( - 3\) B. \( - 2\)
C. \(3\) D. \( - 4\)
Câu 9: Tính môđun của số phức \(z = 2 + i + {i^{2019}}\).
A. \(\left| z \right| = \sqrt 5 \)
B. \(\left| z \right| = 2\)
C. \(\left| z \right| = 2\sqrt 2 \)
D. \(\left| z \right| = \sqrt {10} \)
Câu 10: Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 9 = 0\). Tính \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} \).
A. \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = 3\)
B. \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = 4i\)
C. \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = 9i\)
D. \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = 0\)
Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2). Độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC? A. \(\sqrt 3 \) B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(\sqrt 2 \) D. \(\sqrt 6 \)
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho các véc tơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 2;4;1} \right)\), \(\overrightarrow c = \left( { - 1;3;4} \right)\). Véc tơ \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c \) có toạ độ là:
A. \(\overrightarrow v = \left( {3;7;23} \right)\)
B. \(\overrightarrow v = \left( {23;7;3} \right)\)
C. \(\overrightarrow v = \left( {7;3;23} \right)\)
D. \(\overrightarrow v = \left( {7;23;3} \right)\)
Câu 13: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\).
A. \(2{x^3} - \frac{3}{x} + C\)
B. \(\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C\)
C. \(\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C\)
D. \(\frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\)
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (-4;0;0) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 3t\\z = - 2t\end{array} \right.\). Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là chân hình chiếu từ M lên \(\Delta \). Tính a + b + c.
A. 5 B. 7
C. -3 D. -1
Câu 15: Trong không gian Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;3; - 4} \right)\) làm véc tơ chỉ phương? (với \(t \in \mathbb{R}\)). A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 3t\\z = - 4 + t\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 5t\\z = - 4 - 3t\end{array} \right.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(I\left( {1;0; - 1} \right)\), \(A\left( {2;2; - 3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:
A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)
D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3\)
Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z – 1 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P)? A. Q(1;-3;-4)
B. P(1;-2;0)
C. N(0;1;-2)
D. M(2;-1;1)
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + \sin x\) là:
A. \(F\left( x \right) = {e^x} + \cos x + C\)
B. \(F\left( x \right) = {e^x} - \sin x + C\)
C. \(F\left( x \right) = {e^x} - \cos x + C\)
D. \(F\left( x \right) = {e^x} + \sin x + C\)
Câu 19: Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) theo điều kiện \(\left( {2 - 3i} \right)z - 7i\overline z = 22 - 20i\). Tính \(S = a + b\).
A. \(S = 3\)
B. \(S = - 4\)
C. \(S = - 6\)
D. \(S = 2\)
Câu 20: Chọn khẳng định đúng?
A. \(\int {{3^{2x}}dx} = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 9}} + C\)
B. \(\int {{3^{2x}}dx} = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} + C\)
C. \(\int {{3^{2x}}dx} = \frac{{{3^{2x + 1}}}}{{2x + 1}} + C\)
D. \(\int {{3^{2x}}dx} = \frac{{{9^x}}}{{\ln 3}} + C\)
Câu 21: Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \) và \(F\left( 1 \right) = 1\).
A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{2}\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x \)
C. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x - \frac{5}{3}\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{1}{3}\)
Câu 22: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\).
A. \(\overline z = 1 - i\)
B. \(\overline z = 5 + i\)
C. \(\overline z = 5 - i\) D. \(\overline z = 1 + i\)
Câu 23: Cho số phức \({z_1} = 2 + 3i\), \({z_2} = - 4 - 5i\). Tính \(z = {z_1} + {z_2}\).
A. \(z = 2 + 2i\)
B. \(z = - 2 + 2i\)
C. \(z = 2 - 2i\)
D. \(z = - 2 - 2i\)
Câu 24: Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) là:
A. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;3;2} \right)\)
B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6;2;3} \right)\)
C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;6;2} \right)\)
D. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;3;6} \right)\)
Câu 25: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \) với \(k \ne 0\)
B. \(\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right)\)
C. \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \)
D. \(\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \)
Câu 26: Trong mặt phẳng (Oxy), điểm \(M\left( {3; - 1} \right)\) biểu diễn số phức
A. \(z = - 1 + 3i\)
B. \(z = - 3 + i\)
C. \(z = 1 - 3i\)
D. \(z = 3 - i\)
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow k - \overrightarrow i \). Tọa độ của điểm A là
A. \(A\left( {3;0; - 1} \right)\)
B. \(A\left( { - 1;0;3} \right)\)
C. \(A\left( { - 1;3;0} \right)\)
D. \(A\left( {3; - 1;0} \right)\)
Câu 28: Trong không gian Oxyz phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng (Oyz)? A. \(x = 0\)
B. \(y + z = 0\)
C. \(x = y + z\)
D. \(y - z = 0\)
Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^5} - {x^3}\) và trục hoành:
A. \(S = \frac{{13}}{6}\)
B. \(S = \frac{7}{6}\)
C. \(S = \frac{1}{6}\)
D. \(S = \frac{{17}}{6}\)
Câu 30: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - z + 5 = 0\). Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
A. \(M\left( { - 1;0;4} \right)\)
B. \(M\left( {0;0;5} \right)\)
C. \(M\left( { - 5; - 2;2} \right)\)
D. \(M\left( { - 3; - 1;3} \right)\)
Câu 31: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z + 2i} \right|\) là đường thẳng nào?
A. \(4x + 2y - 1 = 0\)
B. \(4x - 2y + 1 = 0\)
C. \(4x - 2y - 1 = 0\)
D. \(4x - 6y - 1 = 0\)
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z + 1 = 0\). Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:
A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)
B. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\)
C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\)
D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\)
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0\) . Tìm m để hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau
A. \(m = 1\)
B. Không tồn tại m
C. \(m = - 2\)
D. \(m = 2\)
Câu 34: Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx} = \frac{{ - 1}}{m} + n\ln 2\) với \(m,\,\,n \in \mathbb{Z}\). Tính \(S = m + n\).
A. \(S = 1\)
B. \(S = 4\)
C. \(S = - 1\)
D. \(S = - 5\)
Câu 35: Cho \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2\) và \(\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 1\). Tính \(I = \int\limits_1^3 {\left[ {4f\left( x \right) + 2019g\left( x \right)} \right]dx} \).
A. \(2025\) B. \(2019\)
C. \(2021\) D. \(2027\)
Câu 36: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 2} \right)dx} \).
A. \(I = e + 1\)
B. \(I = e + 2\)
C. \(I = e + 3\)
D. \(I = e - 1\)
Câu 37: Phần ảo của số phức \(z = 2 - 3i\) là:
A. \(2\) B. \(3\)
C. \( - 3\) D. \( - 3i\)
Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A, B như hình vẽ bên.
![]() Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức
A. \( - 1 + 2i\)
B. \( - \frac{1}{2} + 2i\)
C. \(2 - i\)
D. \(2 - \frac{1}{2}i\)
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 4t\\z = 3 - 5t\end{array} \right.,\,\,t \in \mathbb{R}\). Hỏi d đi qua điểm nào dưới đây? A. \(\left( {3;6;8} \right)\) B. \(\left( {1; - 4; - 5} \right)\)
C. \(\left( { - 1;2;3} \right)\)
D. \(\left( {0;6;8} \right)\)
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y - 2z - 9 = 0\) và \(\left( Q \right):\,4x - 2y - 4z - 6 = 0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng
A. \(0\) B. \(2\)
C. \(1\) D. \(3\)
Câu 41: Cho tích phân \(\int\limits_2^9 {f\left( x \right)dx} = 6\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{x^2}f\left( {{x^3} + 1} \right)dx} \).
A. \(I = 3\) B. \(I = 2\)
C. \(I = 8\) D. \(I = 4\)
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 3y + z - 17 = 0\). A. \(M\left( {0;0; - 3} \right)\)
B. \(M\left( {0;0;3} \right)\)
C. \(M\left( {0;0; - 4} \right)\)
D. \(M\left( {0;0;4} \right)\)
Câu 43: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} \) và đặt \(u = {x^2},\,\,dv = \cos xdx\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. \(I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} \)
B. \(I = \left. {{x^2}.\sin x} \right|_0^\pi + 2\int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} \)
C. \(I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi - 2\int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} \)
D. \(I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} \)
Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) và \(B\left( {0;3;1} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. \(\left( {2;4; - 2} \right)\)
B. \(\left( { - 2;2;4} \right)\)
C. \(\left( { - 1;1;2} \right)\)
D. \(\left( { - 2; - 4;2} \right)\)
Câu 45: Cho số phức \(z = 1 - 2i\). Tính \(\left| z \right|\).
A. \(\left| z \right| = 5\)
B. \(\left| z \right| = \sqrt 5 \)
C. \(\left| z \right| = 3\)
D. \(\left| z \right| = 2\)
Câu 46: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường \(x = 0\), \(x = 1\), \(y = 0\) và \(y = \sqrt {2x + 1} \). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:
A. \(V = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx} \)
B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\sqrt {2x + 1} dx} \)
C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx} \)
D. \(V = \int\limits_0^1 {\sqrt {2x + 1} dx} \)
Câu 47: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right) = {t^2} + 10t\,\,\left( {m/s} \right)\) với t là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:
A. \(\frac{{4000}}{3}\,\,\left( m \right)\)
B. \(500\,\,\left( m \right)\)
C. \(\frac{{2500}}{3}\,\,\left( m \right)\)
D. \(2000\,\,\left( m \right)\)
Câu 48: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \({f^2}\left( 1 \right)\) bằng:
A. \(8\) B. \(\frac{5}{2}\)
C. \(10\) D. \(4\)
Câu 49: Cho đường thẳng \({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = t\\z = 3\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và \({d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t'\\z = - t'\end{array} \right.\,\,\left( {t' \in \mathbb{R}} \right)\). Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) là:
A. \({\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{9}{4}\)
B. \({\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{3}{2}\)
C. \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{3}{2}\)
D. \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{9}{4}\)
Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2}\), \(y = \frac{{{x^2}}}{8}\), \(y = - x + 6\). Tính diện tích hình phẳng D nằm bên phải của trục tung
A. \(S = \frac{{1075}}{{192}}\)
B. \(S = \frac{{135}}{{64}}\)
C. \(S = \frac{{185}}{{24}}\)
D. \(S = \frac{{335}}{{96}}\) Lời giải chi tiết
Câu 1 (VD)
Phương pháp:
- Gọi \(M\left( {2a - 1;a} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) \( \Rightarrow \) Số phức \({z_3}\).
- Tính \(w\) và tính \(\left| w \right|\).
- Đưa biểu thức về dạng bình phương và tìm GTNN.
Cách giải:
Gọi \(M\left( {2a - 1;a} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) \( \Rightarrow {z_3} = 2a - 1 + ai\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}w = 3{z_3} - {z_2} - 2{z_1}\\w = 3\left( {2a - 1 + ai} \right) - \left( { - 5 - 3i} \right) - 2\left( {1 + 3i} \right)\\w = \left( {6a - 3 + 5 - 2} \right) + \left( {3a + 3 - 6} \right)i\\w = 6a + \left( {3a - 3} \right)i\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2} + {{\left( {3a - 3} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45{a^2} - 18a + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45\left( {{a^2} - \frac{2}{5}a} \right) + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45\left( {{a^2} - 2.a.\frac{1}{5} + \frac{1}{{25}}} \right) - \frac{9}{5} + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45{{\left( {a - \frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{{36}}{5}} \\ \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\frac{{36}}{5}} = \frac{6}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow {\left| w \right|_{\min }} = \frac{6}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow a = \frac{1}{5}\end{array}\)
|