Đề số 4 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 11
Hỏi lúc:
10-12-2023
Trả lời:
0
Lượt xem:
0
Cùng xem hướng dẫn giải Đề số 4 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 11 trong nhóm bài học Đề ôn tập học kì 2 – Có đáp án và lời giải,
Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 4 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 11
Đề bài A. PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm).
Câu 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) có phương trình là
A. \(y = 9x + 4\).
B. \(y = 9x - 5.\)
C. \(y = 4x + 13\).
D. \(y = 4x + 5\).
Câu 2: Tìm tham số m để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} - 7x + 6}}{{x - 2}}{\rm{ khi }}x \ne 2\\2m + 5{\rm{ khi }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = 2\).
A. \(m = - 2\).
B. \(m = - \frac{7}{4}\).
C. \(m = - \frac{9}{4}\).
D. \(m = - 3\).
Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
A. Nếu đường thẳng \(d \bot (\alpha )\) thì \(\;d\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((\alpha ).\)
B. Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong \((\alpha )\) thì \(d \bot (\alpha ).\)
C. Nếu \(d \bot (\alpha )\) và đường thẳng \(a{\rm{//}}(\alpha )\) thì \(d \bot a.\)
D. Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \((\alpha )\) thì \(d\) vuông góc với \((\alpha ).\)
Câu 4: Một chất điểm chuyển động có phương trình là \(s = {t^2} + 2t + 3\) (\(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5\) giây là
A. \(15\left( {m/s} \right).\) B. \(38\left( {m/s} \right).\)
C. \(5\left( {m/s} \right).\) D. \(12\left( {m/s} \right).\)
Câu 5: Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), \(M\) là trung điểm của \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ,\) \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b ,\) \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow a .\)
B. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a - \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow b .\)
C. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow b .\)
D. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c .\)
Câu 6: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = a,\) \(BD = 3a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\) Biết \(AC\) vuông góc với\(BD\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\) theo \(a.\)
A. \(MN = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\)
B. \(MN = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
C. \(MN = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}.\)
D. \(MN = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Câu 7: Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\) Biết \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tính góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right).\)
A. \({60^0}.\) B. \({45^0}.\)
C. \({30^0}.\) D. \({90^0}.\)
Câu 8: Tìm tất cả các số thực \(x\) để ba số \(3x - 1;\) \(x;\) \({\rm{3}}x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
A. \(x = \pm \frac{1}{8}\).
B. \(x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
C. \(x = \pm 2\sqrt 2 \).
D. \(x = \pm 8\).
Câu 9: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = {n^2} + 2n\). Số hạng thứ tám của dãy số là:
A. \({u_8} = 99.\) B. \({u_8} = 80.\)
C. \({u_8} = 63.\) D. \({u_8} = 120.\)
Câu 10: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
A. \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {{u_1} + (n - 1)d} \right]\).
B. \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {{u_1} + (n + 1)d} \right]\).
C. \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]\).
D. \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + (n + 1)d} \right]\).
Câu 11: Cho hàm số\(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 2019\). Tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho \(f'(x) = 0\) là
A. \(\left\{ { - 3;2} \right\}\). B. \(\left\{ { - 3;1} \right\}\).
C. \(\left\{ { - 6;4} \right\}\). D. \(\left\{ { - 4;6} \right\}.\)
Câu 12: Tìm số các số nguyên m thỏa mãn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3\sqrt {m{x^2} + 2x + 1} - mx} \right)\)\( = + \infty .\)
A. 4 B. 10
C. 3 D. 9
Câu 13: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, dãy số nào bị chặn ?
A. \({u_n} = n + 2019\sin n\).
B. \({u_n} = {\left( {\frac{{2019}}{{2018}}} \right)^n}\).
C. \({u_n} = 2{n^2} + 2019\).
D. \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\).
Câu 14: Biết f(x), g(x) là các hàm số thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = 5\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {2f(x) + g(x)} \right]\) bằng
A. 1. B. 3.
C. -1. D. 2.
Câu 15: Cho cấp số cộng \(({u_n})\). Tìm \({u_1}\) và công sai \(d,\)biết tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \({S_n} = 2{n^2} - 5n.\)
A. \({u_1} = - 3;d = 4\).
B. \({u_1} = - 3;d = 5\).
C. \({u_1} = 1;d = 3\).
D. \({u_1} = 2;d = 2\).
Câu 16: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a,\) \(EF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), (\(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và\(AD\)). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là:
A. \({30^0}.\) B. \({45^0}.\)
C. \({60^0}.\) D. \({90^0}.\)
Câu 17: Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) trên tập \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) là
A. \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
B. \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
C. \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
D. \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
Câu 18: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
A. \({\left( {0,99} \right)^n}.\)
B. \(\frac{{{n^2} + 4n + 1}}{{n + 1}}\).
C. \(\frac{{n + 1}}{{2n + 3}}.\)
D. \({\left( {1,1} \right)^n}.\)
Câu 19: Cho \(f(x) = 3{x^2}\); \(g(x) = 5(3x - {x^2})\). Bất phương trình \(f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\) có tập nghiệm là
A. \(\left( { - \frac{{15}}{{16}}; + \infty } \right).\)
B. \(\left( { - \infty ;\frac{{15}}{{16}}} \right).\)
C. \(\left( { - \infty ; - \frac{{15}}{{16}}} \right).\)
D. \(\left( {\frac{{15}}{{16}}; + \infty } \right).\)
Câu 20: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {2{x^2} + x} - \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x + 1}}.\)
A. \(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}.\) B. \(\frac{1}{2}.\)
C. \(\frac{3}{2}.\) D. \(\frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}.\)
B. PHẦN CÂU HỎI TỰ LUẬN (5,0 điểm).
Câu I. (3,0 điểm).
1. Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2\sqrt x }}{{x - 1}}.\) 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}}\) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(d:y = -x + 25.\)
Câu II. (2,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,\,SD\).
1. Chứng minh rằng \(BC \bot AM\) và \(AM \bot \left( {SBC} \right){\rm{.}}\)
2. Gọi số đo góc giữa hai mặt phẳng \((AMN)\) và \((ABCD)\) là \(\alpha .\) Tính \(\cos \alpha \). Lời giải chi tiết A. PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm).
Câu 1
Phương pháp:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
Cách giải:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x\) \( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = {3.1^2} + 6.1 = 9\). Mặt khác có \({y_0} = {1^3} + {3.1^2} = 4\).
Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) có phương trình là:
\(y = 9\left( {x - 1} \right) + 4\)\( \Leftrightarrow y = 9x - 5\)
Chọn B.
Câu 2
Phương pháp:
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) thì \({x_0}\) thuộc tập xác định của hàm số và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Cách giải:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\), \(x = 2 \in D\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 7x + 6}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x - 3} \right) = 1\\f\left( 2 \right) = 2m + 5\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại \(x = 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow 2m + 5 = 1 \Leftrightarrow m = - 2\).
Chọn A.
Câu 3
Phương pháp:
Sử dụng các định lí sau:
+) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\\forall a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot a\).
+) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\).
+) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d\parallel d'\end{array} \right. \Rightarrow d' \bot \left( P \right)\).
Cách giải:
Dễ thấy mệnh đề B: Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong \((\alpha )\) thì \(d \bot (\alpha )\) là mệnh đề sai vì thiếu điều kiện hai đường thẳng cắt nhau.
Chọn B.
Câu 4
Phương pháp:
Vận tốc tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = {t_0}\) giây là \(v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)\).
Cách giải:
Ta có: \(s' = 2t + 2\).
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5\) giây là \(v\left( 5 \right) = s'\left( 5 \right)\) \( = 2.5 + 2 = 12\,\,\left( {m/s} \right)\)
Chọn D.
Câu 5
Phương pháp:
Sử dụng công thức trung điểm: \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right)\) và công thức hình bình hành: \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \).
Cách giải:
![]() Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c \end{array}\)
Chọn D.
Câu 6
Phương pháp:
- Gọi P là trung điểm của AC. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác chứng minh tam giác MNP vuông tại P và tính độ dài NP, MP.
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MNP tính độ dài MN.
Cách giải: ![]() Gọi P là trung điểm của AC. Khi đó ta có:
+ NP là đường trung bình của tam giác ABC nên NP = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{a}{2}\) và NP // AC.
+ MP là đường trung bình của tam giác ABD nên MP = \(\frac{1}{2}\)BD = \(\frac{{3a}}{2}\) và MP // BD.
Mà \(AC \bot BD\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(NP \bot MP \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại P.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MNP có:
\(MN = \sqrt {M{P^2} + N{P^2}} \)\( = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\).
Chọn C.
Câu 7
Phương pháp:
- Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên (ABCD).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Cách giải: ![]() Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)\)\( = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\) .
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AC\), do đó tam giác SAC vuông tại A.
Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác vuông SAC có: \(\tan \angle SCA = \frac{{SA}}{{AC}}\)\( = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}:a\sqrt 2 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow \angle SCA = {30^0}\)
Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng \({30^0}\).
Chọn C.
Câu 8
Phương pháp:
Sử dụng tính chất cấp số nhân: Ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì \(ac = {b^2}\).
Cách giải:
Để ba số \(3x - 1;\) \(x;\) \({\rm{3}}x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì:
\(\begin{array}{l}\left( {3x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right) = {x^2}\\ \Leftrightarrow 9{x^2} - 1 = {x^2}\\ \Leftrightarrow 8{x^2} = 1\\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array}\)
Chọn B.
Câu 9
Phương pháp:
Thay \(n = 8\) để tính số hạng thứ 8 là \({u_8}\).
Cách giải:
Số hạng thứ 8 của dãy là \({u_8} = {8^2} + 2.8 = 80\).
Chọn B.
Câu 10
Phương pháp:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]\).
Cách giải:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]\).
Chọn C.
Câu 11
Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số, sử dụng công thức tính đạo hàm: \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\).
- Giải phương trình bậc hai.
Cách giải:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 9\).
Khi đó: \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - 9 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\) .
Vậy tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) là \(\left\{ { - 3;1} \right\}\).
Chọn B.
Câu 12
Phương pháp:
- Đặt nhân tử chung x ra ngoài.
- Xét dấu.
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3\sqrt {m{x^2} + 2x + 1} - mx} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {3\sqrt {m + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - m} \right)\end{array}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \), do đó để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3\sqrt {m{x^2} + 2x + 1} - mx} \right) = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3\sqrt {m + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - m} \right) > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\sqrt m - m > 0\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\3\sqrt m > m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\9m > {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\0 < m < 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 0 < m < 9\end{array}\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\)
Với \(m = 0\) ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3\sqrt {2x + 1} } \right) = + \infty \,\,\left( {tm} \right)\), với \(m = 9\) ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3\sqrt {9{x^2} + 2x + 1} - 9x} \right) = 1\) (KTM)
Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Câu 13
Phương pháp:
- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\) hoặc thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) để xem dãy số tăng hay giảm.
- Chứng minh \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), khi đó dãy số bị chặn trên bởi M và bị chặn dưới bởi m.
Cách giải:
Xét đáp án D ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{n + 2}}{{n + 2020}}\)
Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\) ta có:
\(\begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \frac{{n + 2}}{{n + 2020}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\\ = \frac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 2019} \right) - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2020} \right)}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 2021n + 4038 - {n^2} - 2021n - 2020}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}}\\ = \frac{{2018}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Do đó dãy số \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\) là dãy số tăng.
Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}} = 1 - \frac{{2018}}{{n + 2019}} < 1,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Do đó dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1.
Lại có:
\(\begin{array}{l}n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2019 \ge 2020\\ \Leftrightarrow \frac{{2018}}{{n + 2019}} \le \frac{{2018}}{{2020}} = \frac{{1009}}{{1010}}\\ \Rightarrow - \frac{{2018}}{{n + 2019}} \ge - \frac{{1009}}{{1010}}\\ \Rightarrow {u_n} = 1 - \frac{{2018}}{{n + 2019}} \ge \frac{1}{{1010}}\end{array}\)
Do đó dãy số bị chặn dưới bởi \(\frac{1}{{1010}}\).
Vậy dãy số \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\) là dãy số bị chặn.
Chọn D.
Câu 14
Phương pháp:
Sử dụng định lí: Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\), khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {2f(x) + g(x)} \right]\\ = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\\ = 2.\left( { - 2} \right) + 5 = 1.\end{array}\)
Chọn A.
Câu 15
Phương pháp:
- Thay \(n = 1\) tính \({S_1} = {u_1}\).
- Thay \(n = 2\) tính \({S_2} = {u_1} + {u_2}\) từ đó tính được \({u_2}\).
- Tính công sai \(d = {u_2} - {u_1}\).
Cách giải:
Thay \(n = 1\) ta có \({S_1} = {2.1^2} - 5.1 = - 3 = {u_1}\).
Thay \(n = 2\) ta có \({S_2} = {2.2^2} - 5.2 = - 2 = {u_1} + {u_2}\)
\( \Rightarrow {u_2} = {S_2} - {u_1} = - 2 - \left( { - 3} \right) = 1\).
|