Đề số 5 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 10
Hỏi lúc:
08-12-2023
Trả lời:
0
Lượt xem:
0
Cùng xem hướng dẫn giải Đề số 5 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 10 trong nhóm bài học Đề ôn tập học kì 2 – Có đáp án và lời giải,
Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 5 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 10
Đề bài Câu 1: (VD) (2 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) \(\sqrt {3{x^2} - 5x - 1} = x - 1\).
b) \(\left| {{x^2} - x} \right| > 2 - x\).
Câu 2: (VD) (2 điểm) a) Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 2)x + 4 - 7m = 0\) (\(m\)là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + \,x_2^2 = 10\).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 5 > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in R\).
Câu 3: (VD) (2 điểm) a) Cho \(\sin a = - \frac{4}{5}\), với \(\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\) . Tính \(\cos a,\,\,cos2a,\,\,\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\,\tan ( - a).\)
b) Chứng minh đẳng thức : \(2\cot 2x\cot x + 1 = {\cot ^2}x\).
Câu 4: (VD) (1 điểm) Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1; - 3)\) và vuông góc với đường thẳng\(\,d:3x - 4y - 7 = 0\)
Câu 5: (VD) (1 điểm) Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng \(d:x + 2y - 1 = 0\).
Viết phương trình đường tròn tâm \(B\), tiếp xúc với đường thẳng \(d\).
Câu 6: (VD) (1 điểm) Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) viết phương trình chính tắc của elíp \((E),\) biết \((E)\) có độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai bằng \(\frac{3}{4}.\)
Câu 7: (VDC) (1 điểm) Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho hai đường thẳng \((\Delta ):2x + y - 1 = 0\), \((d):3x + 7y + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {1;1} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\)và cắt \((\Delta )\),\((d)\) lần lượt tại hai điểm B, C sao cho \(M\) là trung điểm của \(BC\). Lời giải chi tiết Câu 1:
Phương pháp:
a) \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)
b) \(\left| {f\left( x \right)} \right| > g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) < 0\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\\{f^2}\left( x \right) > g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right..\)
Cách giải:
Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) \(\sqrt {3{x^2} - 5x - 1} = x - 1\)
ĐKXĐ: \(3{x^2} - 5x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{5 + \sqrt {37} }}{6}\\x \le \frac{{5 - \sqrt {37} }}{6}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3{x^2} - 5x - 1 = {(x - 1)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\3{x^2} - 5x - 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
\(\begin{array}{l}b)\,\,\,\left| {{x^2} - x} \right| > 2 - x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\{\left( {{x^2} - x} \right)^2} > {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^4} - 2{x^3} + {x^2} > 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^4} - 2{x^3} + 4x - 4 > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) - 2x\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 2 > 0\,\left( {do\,\,\,{x^2} - 2x + 2 > 0} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 2 \\x < - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\sqrt 2 < x \le 2\\x < - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 2 \\x < - \sqrt 2 \end{array} \right..\end{array}\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\)
Câu 2:
Phương pháp:
a) Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\). Sử dụng định lý Vi-ét, biến đổi biểu thức đề bài theo m để giải tìm m.
b) Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)
- Nếu \(\Delta < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.
- Nếu \(\Delta = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x = - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.
- Nếu \(\Delta > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).\)
Cách giải:
a) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 4 - 7m = 0\) (\(m\)là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10.\)
\({x^2} - 2(m - 2)x + 4 - 7m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4 + 7m > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 - 4 + 7m > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 3\end{array} \right..\end{array}\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 4 - 7m\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}x_1^2 + \,x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{(m - 2)^2} - 2(4 - 7m) = 10\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - \frac{1}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(m = 1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
b) \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 5 > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in R\).
Để bất phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 5 > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {2m + 5} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\ - {m^2} - m + 6 < 0\,\,\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m < - 3\\m > 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\,.\end{array}\)
Vậy \(m > 2\) thỏa mãn bài toán.
Câu 3:
Phương pháp:
a) Áp dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \(\cos x\), từ đó tính các giá trị còn lại
b)
\(\begin{array}{l}\sin 2x = 2\sin x\cos x\\\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\end{array}\)
Cách giải: a) Cho \(\sin a = - \frac{4}{5}\), với \(\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\) . Tính \(\cos a,\,\,cos2a,\,\,\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\,\tan ( - a).\)
\(\begin{array}{l}{\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}\\ \Rightarrow \cos a = - \frac{3}{5}\,\,\,\left( {do\,\,\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}} \right)\\ \Rightarrow \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\\ = 1 - 2.\frac{{16}}{{25}} = - \frac{7}{{25}}\\ \Rightarrow \sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\\ = \sin a.\cos \frac{\pi }{6} + \cos a.\sin \frac{\pi }{6}\\ = - \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 - 4\sqrt 3 }}{{10}}.\\ \Rightarrow \tan ( - a) = - \tan a = - \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\\ = - \frac{4}{5}.\frac{5}{3} = - \frac{4}{3}.\end{array}\)
b) Chứng minh đẳng thức : \(2\cot 2x.\cot x + 1 = {\cot ^2}x.\)
\(\begin{array}{l}VT = 2.\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} + 1\\ = \frac{{2.\cos 2x}}{{2{{\sin }^2}x.\cos x}}.\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\ = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x}} + 1\\ = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} + 1\\ = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = {\cot ^2}x = VP.\end{array}\)
Vậy \(2\cot 2x.\cot x + 1 = {\cot ^2}x.\)
Câu 4:
Phương pháp:
Xác định VTPT (VTCP) và một điểm đi qua của đường thẳng \(\Delta \) để viết phương trình.
Cách giải:
Viết pt đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(1; - 3)\) và vuông góc với \(\,d:3x - 4y - 7 = 0\).
Đường thẳng \(d\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {3; - 4} \right).\)
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.
Ta có:\(\Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4;\,3} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\) và có \(VTPT\,\,\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4; - 3} \right)\) là: \(4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x + 3y + 5 = 0\)
Câu 5:
Phương pháp:
Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \(\left( {O,R} \right) \Leftrightarrow d\left( {O,\Delta } \right) = R\)
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;\,b} \right)\) và có bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\)
Cách giải:
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng \(d:x + 2y - 1 = 0\). Viết phương trình đường tròn tâm \(B\), tiếp xúc với đường thẳng \(d\).
Đường tròn đường tròn cần tìm có bán kính \(R = d(B;d) = \frac{{\left| {3 + 8 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\)\( = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \)
Phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 20.\)
Câu 6:
Phương pháp:
Tiêu cự của elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là \(c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
Trục lớn = 2a ; trục bé = 2b ; tâm sai \(e = \frac{c}{a}.\) Cách giải:
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) viết phương trình chính tắc của elíp \((E),\) biết \((E)\) có độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai bằng \(\frac{3}{4}.\)
Ta có \(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn là \(8 \Rightarrow 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4.\)
Tâm sai của \(\left( E \right)\) là \(\frac{3}{4} \Rightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow c = 3.\)
\( \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = {4^2} - {3^2} = 7\)\( \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1.\)
Vậy phương trình \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1.\)
Câu 7:
Phương pháp:
Tìm tọa độ điểm A là giao điểm của \((\Delta )\)và \((d)\)
Tìm N là điểm sao cho ABNC là hình bình hành
Tìm điểm B là giao của BN và \(\Delta \)
Viết phương trình đường thẳng BM là đường thẳng cần tìm
Cách giải:
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho hai đường thẳng \((\Delta ):2x + y - 1 = 0\), \((d):3x + 7y + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {1;1} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\)và cắt \((\Delta )\),\((d)\) lần lượt tại hai điểm B, C sao cho \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Gọi A là giao điểm của \((\Delta )\)và \((d)\)
\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\3x + 7y + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{{11}}\\y = - \frac{5}{{11}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( {\frac{8}{{11}}; - \frac{5}{{11}}} \right)\)
Gọi \(N\left( {a;\,\,b} \right)\) là điểm sao cho ABNC là hình bình hành
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MN} \\ \Leftrightarrow \left( {a - 1;\,b - 1} \right) = \left( {1 - \frac{8}{{11}};\,1 + \frac{5}{{11}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 1 - \frac{8}{{11}}\\b - 1 = 1 + \frac{5}{{11}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{14}}{{11}}\\b = \frac{{27}}{{11}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow N\left( {\frac{{14}}{{11}};\frac{{27}}{{11}}} \right)\end{array}\)
Đường thẳng \(\left( {BN} \right)\) là đường thẳng đi qua N và song song với \((d)\)
\( \Rightarrow \left( {BN} \right):3\left( {x - \frac{{14}}{{11}}} \right) + 7\left( {y - \frac{{27}}{{11}}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 7y - 21 = 0\)
B là giao điểm của \((\Delta )\)và \((BN) \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\3x + 7y - 21 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{14}}{{11}}\\y = \frac{{39}}{{11}}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow B\left( { - \frac{{14}}{{11}};\frac{{39}}{{11}}} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(\left( {BM} \right)\) cần tìm là: \(\frac{{x - 1}}{{ - \frac{{14}}{{11}} - 1}} = \frac{{y - 1}}{{\frac{{39}}{{11}} - 1}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{28}}{{11}}\left( {x - 1} \right) = - \frac{{25}}{{11}}\left( {y - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow 28x + 25y - 53 = 0\)
Nguồn: Sưu tầm
|
- Đề số 1 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
- Đề số 2 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
- Đề số 3 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
- Đề số 4 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
- Đề số 5 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
- Đề số 6 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
- Đề số 7 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
- Đề số 8 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
- Đề số 9 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
- Đề số 10 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12
- Đề số 1 – đề kiểm tra học kì 2 – sinh 11
- Đề số 2 – đề kiểm tra học kì 2 – sinh 11
- Đề số 3 – đề kiểm tra học kì 2 – sinh 11
- Đề số 4 – đề kiểm tra học kì 2 – sinh 11
- Đề số 5 – đề kiểm tra học kì 2 – sinh 11
- Đề số 6 – đề kiểm tra học kì 2 – sinh 11
- Đề số 7 – đề kiểm tra học kì 2 – sinh 11
- Đề số 8 – đề kiểm tra học kì 2 – sinh 11
- Đề số 9 – đề kiểm tra học kì 2 – sinh 11
- Đề số 10 – đề kiểm tra học kì 2 – sinh 11