a, R=IM=52=>[C]: [x+2]2+[y-3]2=52 b, R=d[I,∆]=255=>[C]: [x+1]2+[y-2]2=45 c, R=AB2=13Tâm I là trung điểm AB=>I=[4;3]=>[C]: [x-4]2+[y-3]2=13..
...Xem thêmLoading Preview
Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.
Cho đường tròn [C] tâm $I\left[ a;b \right]$, bán kính R
Nếu biết tiếp điểm là $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ $\overrightarrow{IM}\left[ {{x}_{0}}-a;{{y}_{0}}-b \right]$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $\left[ {{x}_{0}}-a \right]\left[ x-{{x}_{0}} \right]+\left[ {{y}_{0}}-b \right]\left[ y-{{y}_{0}} \right]=0$
Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc đường tròn [C] khi và chỉ khi $d\left[ I;\Delta \right]=R$ để xác định tiếp tuyến.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho đường tròn [C] có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+2y+6=0$ và điểm hai điểm $A\left[ 1;-1 \right];\,\,B\left[ 1;3 \right]$
a] Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn
b] Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm A
c] Viết phương trình tiếp tuyến của [C] kẻ từ B.
Lời giải
Đường tròn [C] có tâm $I\left[ 3;-1 \right]$ bán kính $R=\sqrt{{{3}^{2}}+1-6}=2$.
a] Ta có: $IA=2=R;\,IB=2\sqrt{5}>R$ suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn
b] Tiếp tuyến của [C] tại điểm A nhận $\overrightarrow{IA}=\left[ 2;0 \right]$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2\left[ x-1 \right]+0\left[ y+1 \right]=0$ hay $x=1$
b] Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua B có dạng:
$a\left[ x-1 \right]+b\left[ y-3 \right]=0$ [với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$] hay $ax+by-a-3b=0$
Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn $\Leftrightarrow d\left[ I;\Delta \right]=R$
$\Leftrightarrow \frac{\left| 3a-b-a-3b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2\Leftrightarrow {{\left[ a-2b \right]}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow 3{{b}^{2}}-4ab=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} b=0 \\ 3b=4a \\ \end{matrix} \right.$
- Nếu $b=0$, chọn $a=1$ suy ra phương trình tiếp tuyến là $x=1$.
- Nếu $3b=4a$, chọn $a=3,\,\,b=4$ suy ra phương trình tiếp tuyến là $3x+4y-15=0$
Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với [C] có phương trình là $x=1$ và $3x+4y-15=0$
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của đường tròn $\left[ C \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+4y-1=0$ trong trường
a] Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $\Delta ‘:2x+3y+4=0$
b] Đường thẳng $\Delta $ hợp với trục hoành một góc ${{45}^{0}}$
Lời giải
a] Đường tròn [C] có tâm $I\left[ 2;-2 \right]$, bán kính $R=3$
Vì $\Delta \bot \Delta ‘$ nên $\Delta $ nhận $\overrightarrow{u}\left[ -3;2 \right]$ làm VTPT do đó phương trình có dạng $-3x+2y+c=0$
Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến với đường tròn [C] khi và chỉ khi
$d\left[ I;\Delta \right]=3\Leftrightarrow \frac{\left| -10+c \right|}{\sqrt{13}}=3\Leftrightarrow c=10\pm 3\sqrt{13}$
Vậy có hai tiếp tuyến là $\Delta :-3x+2y+10\pm 3\sqrt{13}=0$
b] Giả sử phương trình đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0,\,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$
Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến với đường tròn [C] khi và chỉ khi
$d\left[ I;\Delta \right]=3\Leftrightarrow \frac{\left| 2a-2b+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=3\Leftrightarrow {{\left[ 2a-2b+c \right]}^{2}}=9\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right][*]$
Đường thẳng $\Delta $ hợp với trục hoành một góc ${{45}^{0}}$ suy ra
$\cos \left[ \Delta ;Ox \right]=\frac{\left| b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\Rightarrow \cos {{45}^{0}}=\frac{\left| b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\Leftrightarrow a=b$ hoặc $a=-b$
TH1: Nếu $a=b$ thay vào [*] ta có $18{{a}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow \pm c=3\sqrt{2}a$, chọn $a=b=1\Rightarrow \,\,c=\pm 3\sqrt{2}$ suy ra $\Delta :x+y\pm 3\sqrt{2}=0$
TH2: Nếu $a=-b$ thay vào [*] ta có $18{{a}^{2}}={{\left[ 4a+c \right]}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} c=\left[ 3\sqrt{2}-4 \right]a \\ c=-\left[ 3\sqrt{2}+4 \right]a \\ \end{matrix} \right.$
Với $c=\left[ 3\sqrt{2}-4 \right]a$, chọn $a=1,\,\,b=-1,\,\,c=\left[ 3\sqrt{2}-4 \right]\Rightarrow \Delta :x-y+3\sqrt{2}-4=0$
Với $c=-\left[ 3\sqrt{2}+4 \right]a$, chọn $a=1,\,\,b=-1,\,\,c=-\left[ 3\sqrt{2}+4 \right]\Rightarrow \Delta :x-y-3\sqrt{2}-4=0$
Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn là ${{\Delta }_{1,2}}:x+y\pm 3\sqrt{2}=0,\,\,{{\Delta }_{3}}:x-y+3\sqrt{2}-4=0$ và ${{\Delta }_{4}}:x-y-3\sqrt{2}-4=0$
Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
$\left[ {{C}_{1}} \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y-5=0$ và $\left[ {{C}_{2}} \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+8y+16=0$
Lời giải
Đường tròn $\left[ {{C}_{1}} \right]$ có tâm ${{I}_{1}}\left[ 0;2 \right]$ bán kính ${{R}_{1}}=3$
Đường tròn $\left[ {{C}_{2}} \right]$ có tâm ${{I}_{2}}\left[ 3;-4 \right]$ bán kính ${{R}_{2}}=3$
Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình $\Delta :ax+by+c=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$
$\Delta $ là tiếp tuyến chung của $\left[ {{C}_{1}} \right]$ và $\left[ {{C}_{2}} \right]$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & d[{{I}_{1}},\Delta ]=3 \\ & d[{{I}_{2}},\Delta ]=3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| 2b+c \right|=3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left[ * \right] \\ & \left| 3a-4b+c \right|=3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ \end{align} \right.$
Suy ra $\left| 2b+c \right|=\left| 3a-4b+c \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=2b \\ & c=\frac{-3a+2b}{2} \\ \end{align} \right.$
TH1: Nếu $a=2b$chọn $a=2,\,\,b=1$ thay vào [*] ta được $c=-2\pm 3\sqrt{5}$ nên ta có 2 tiếp tuyến là $2x+y-2\pm 3\sqrt{5}=0$
TH2: Nếu $c=\frac{-3a+2b}{2}$ thay vào [*] ta được $\left| 2b-a \right|=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\Leftrightarrow $$a=0$ hoặc $3a+4b=0$
- Với $a=0\Rightarrow c=b$, chọn $b=c=1$ ta được $\Delta :y+1=0$
- Với $3a+4b=0\Rightarrow c=3b$, chọn $a=4,\,\,b=-3,\,\,c=-9$ ta được $\Delta :4x-3y-9=0$
Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là : $2x+y-2\pm 3\sqrt{5}=0,\,y+1=0,\,\,4x-3y-9=0$
3. Bài tập luyện tập
Bài 3.106: Cho đường tròn $\left[ C \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y-17=0$. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:
a] Điểm tiếp xúc là $M\left[ 2;1 \right]$
b] d đi qua A[3;6]
c] d song song với đường thẳng $\Delta :3x-4y-2008=0$
d] d vuông góc với đường thẳng $\Delta ‘:2x-3y-4=0$
Bài 3.107: Cho đường tròn $\left[ C \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0$ và điểm $A\left[ 2;5 \right]$.Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm M, N. Hãy tính độ dài MN.
Bài 3.108: Cho $\left[ C \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-3=0$. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho $\Delta ABC$ có diện tích bằng 4.
Bài 3.109: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn: $\left[ {{C}_{1}} \right]{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x-2y+7=0$, $\left[ {{C}_{2}} \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-7y+12=0$ và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ấy.
Bài 3.110 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x-y+1=0$ và đường tròn $\left[ C \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y=0$. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với [C] tại A và B sao cho $\widehat{AMB}={{60}^{0}}$.
Bài 3.111 Cho $\left[ {{C}_{m}} \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2mx-2\left[ m-1 \right]y+1=0$
a] Tìm m để $\left[ {{C}_{m}} \right]$ là đường tròn
b] Tìm m để $\left[ {{C}_{m}} \right]$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :x+y+1+2\sqrt{2}=0$
c] Tìm m để từ điểm $A\left[ 7;0 \right]$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với $\left[ {{C}_{m}} \right]$ vuông góc với nhau.
d] Tìm m để từ điểm $A\left[ 7;0 \right]$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với $\left[ {{C}_{m}} \right]$ và tạo với nhau góc 600.
Bài 3.112 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai đường tròn:
$[{{C}_{1}}]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x=0,\,\,[{{C}_{2}}]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-20=0$
a] Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của $[{{C}_{1}}],\,\,[{{C}_{2}}]$ và có tâm nằm trên đường thẳng $d:x+6y-6=0$.
b] Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn $[{{C}_{1}}],\,\,[{{C}_{2}}]$ .
Bài 3.113 Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn [C] và đường thẳng d lần lượt có phương trình: [C]: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+6y+21=0$, $d:x+y-1=0$. Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn [C], biết A nằm trên d.
Bài 3.114 Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn $\left[ C \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-6y+6=0$ và điểm $M\left[ -3;1 \right]$. Gọi ${{T}_{1}},\,\,{{T}_{2}}$ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến [C]. Viết phương trình đường thẳng ${{T}_{1}}\,\,{{T}_{2}}$.
Bài 3.115 Cho đường tròn [C] có phương trình: ${{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{y}^{2}}=4$. Tìm trên $Oy$ điểm M mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với [C] và 2 tiếp tuyến đó tạo thành góc ${{60}^{0}}$
Lời giải
Bài 3.106:
a] $4x+3y-11=0$
b] $x=2$ và $39x-80y+402=0$
c] $3x-4y+23=0$ và $3x-4y-27=0$.
d] $3x+2y+10\pm 5\sqrt{13}=0$
Bài 3.107: Qua A ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là: $x=2$ và $y=5$. Từ đó ta tìm được $M\left[ 2;2 \right],\,\,N\left[ -1;5 \right]$ suy ra $MN=\sqrt{{{\left[ -1-2 \right]}^{2}}+{{[5-2]}^{2}}}=3\sqrt{2}$
Bài 3.108: [C] có tâm $I\left[ 1;-1 \right]$ và bán kính $R=\sqrt{5}$
Giả sử $A\left[ a;0 \right],\,\,B\left[ 0;b \right],\,\,a>0,\,\,b>0$
Phương trình đường thẳng AB có dạng $AB:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ hay $bx+ay-ab=0$. Ta có ${{S}_{AOB}}=4\Leftrightarrow ab=8$, AB tiếp xúc với [C] $\Rightarrow d\left[ I;AB \right]=\sqrt{5}\Leftrightarrow b-a=-2$
Suy ra $a=4,\,\,b=2$
Vậy phương trình $AB:x+2y-4=0$
Bài 3.109: Toạ độ giao điểm của hai đường tròn là $A\left[ 1;2 \right],\,\,B\left[ 3;4 \right]$
Có 2 tiếp tuyến thoả mãn là $3x-y+3=0,\,\,x+3y-17=0$
Bài 3.110: Đường tròn có tâm $I\left[ -1;2 \right]$ và có bán kính $R=\sqrt{5}$.
$\widehat{AMB}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{AMI}={{30}^{0}}\Rightarrow MI=2AI=2\sqrt{5}$
Từ đó có hai điểm M thoả mãn ${{M}_{1}}\left[ -3;-2 \right],\,\,{{M}_{2}}\left[ 3;4 \right]$
Bài 3.111:
a] $\left[ {{C}_{m}} \right]$ là đường tròn $\left[ \begin{align} & m>1 \\ & m