- LG a
- LG b
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho hai điểm \[I[1;2]\], \[M[-2;3]\], đường thẳng \[d\] có phương trình \[3x-y+9=0\]và đường tròn \[[C]\]có phương trình: \[x^2+y^2+2x-6y+6=0\]. Hãy xác định tọa độ của điểm \[M\], phương trình của đường thẳng \[d\] và đường tròn \[[C]\] theo thứ tự là ảnh của \[M\], \[d\]và \[[C]\] qua
LG a
Phép đối xứng qua gốc tọa độ;
Phương pháp giải:
Sử dụng biểu thức tọa độ của tâm đối xứng:
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho \[I=[x_0; y_0]\], gọi \[M=[x;y]\] và \[M=[x;y]\] là ảnh của \[M\] qua phép đối xứng tâm \[I\]. Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_0} - x\\y' = 2{y_0} - y\end{array} \right.\]
Trong bài này tâm đối xứng là \[O[0;0]\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Gọi \[M\],\[d\] và \[[C]\]theo thứ tự là ảnh của \[M\], \[d\]và \[[C]\] qua phép đối xứng qua \[O\].
M[-2;3] nên \[M=[2;-3]\]
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độlà:
\[\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - x'\\
y = - y'
\end{array} \right.\]
Phương trình của \[d\]: \[3[-x]-[-y]+9=0\]\[\Leftrightarrow 3x-y-9=0\]
Phương trình của đường tròn \[[C]: {[-x]}^2+{[-y]}^2+2[-x]-6[-y]+6=0\] \[\Leftrightarrow [C]: x^2+y^2-2x+6y+6=0\]
LG b
Phép đối xứng qua tâm \[I\].
Phương pháp giải:
Sử dụng biểu thức tọa độ của tâm đối xứng:
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho \[I=[x_0; y_0]\], gọi \[M[x;y]\] và \[M[x;y]\] là ảnh của \[M\] qua phép đối xứng tâm \[I\]. Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_0} - x\\y' = 2{y_0} - y\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Gọi \[M\],\[d\] và \[C\]theo thứ tự là ảnh của \[M\], \[d\] và \[C\] qua phép đối xứng qua \[I\].
Vì \[I\] là trung điểm của \[MM'\] nên \[M=[4;1]\]
Vì \[d\] song song với \[d\]nên \[d\]có phương trình \[3x-y+C=0\]. Lấy một điểm trên \[d\], chẳng hạn \[N[0;9]\].
Khi đó ảnh của \[N\] qua phép đối xứng qua tâm \[I\] là \[N[2;-5]\].
Vì \[N\] thuộc \[d\]nên ta có \[3.2-[-5]+C=0\]. Từ đó suy ra \[C=-11\].
Vậy phương trình của \[d\]là \[3x-y-11=0\].
Để tìm \[[C]\], trước hết ta để ý rằng \[[C]\] là đường tròn tâm \[J[-1;3]\], bán kính bằng \[2\].
Ảnh của \[J\] qua phép đối xứng qua tâm \[I\]là \[J[3;1]\].
Do đó \[[C]\]là đường tròn tâm \[J\]bán kính bằng \[2\].
Phương trình của \[[C]\]là \[{[x-3]}^2+{[y-1]}^2=4\].