- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau:
LG a
\[\tan \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] + \cot \left[ {{\pi \over 6} - 3x} \right] = 0\]
Lời giải chi tiết:
Biến đổi phương trình đã cho như sau:
\[\tan \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] + \cot \left[ {{\pi \over 6} - 3x} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow \tan \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] + \tan \left[ {3x + {\pi \over 3}} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow {{\sin \left[ {4x + {{2\pi } \over 3}} \right]} \over {\cos \left[ {x + {\pi \over 3}} \right]\cos \left[ {3x + {\pi \over 3}} \right]}} = 0\]
Vậy với điều kiện \[\cos \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] \ne 0\] và \[\cos \left[ {3x + {\pi \over 3}} \right] \ne 0\], phương trình đã cho tương đương với phương trình \[\sin \left[ {4x + {{2\pi } \over 3}} \right] = 0\Leftrightarrow x = - {\pi \over 6} + {{k\pi } \over 4}\]Có thể thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.
Chẳng hạn, ta có
\[\cos \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] = \cos \left[ { - {\pi \over 6} + k{\pi \over 4} + {\pi \over 3}} \right] \]
\[= \cos \left[ {{\pi \over 6} + k{\pi \over 4}} \right] \ne 0\]
LG b
\[\tan \left[ {2x - {{3\pi } \over 4}} \right] + \cot \left[ {4x - {{7\pi } \over 8}} \right] = 0\]
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức \[\tan a + \cot b = {{\cos \left[ {a - b} \right]} \over {\cos a.\sin b}},\] ta biến đổi phương trình đã cho như sau:
\[\tan \left[ {2x - {{3\pi } \over 4}} \right] + \cot \left[ {4x - {{7\pi } \over 8}} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow {{\cos \left[ {x + {{13\pi } \over 8}} \right]} \over {\cos \left[ {2x - {{3\pi } \over 4}} \right]\sin \left[ {4x + {{7\pi } \over 8}} \right]}} = 0\]
Do đó với điều kiện \[\cos \left[ {2x - {{3\pi } \over 4}} \right] \ne 0\] và \[\sin \left[ {4x + {{7\pi } \over 8}} \right] \ne 0,\] phương trình đã cho tương đương với phương trình \[\cos \left[ {2x + {{13\pi } \over 8}} \right] = 0\Leftrightarrowx = - {{9\pi } \over {16}} + k{\pi \over 2} \]
Thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.
LG c
\[\tan \left[ {2x + {\pi \over 3}} \right].\tan \left[ {x - {\pi \over 2}} \right] = 1\]
Lời giải chi tiết:
Biến đổi phương trình đã cho như sau:
\[\eqalign{
& \tan \left[ {2x + {\pi \over 3}} \right].\tan \left[ {\pi - {x\over 2}} \right] = 1\cr& \Leftrightarrow \tan \left[ {2x + {\pi \over 3}} \right] = \cot \left[ { - {x \over 2}} \right] \cr
& \Leftrightarrow \tan \left[ {2x + {\pi \over 3}} \right] + \cot {x \over 2} = 0\cr& \Leftrightarrow {{\cos \left[ {{{3x} \over 2} + {\pi \over 3}} \right]} \over {\cos \left[ {2x + {\pi \over 3}} \right]\sin {x \over 2}}} = 0 \cr} \]
Do đó, với điều kiện \[\cos \left[ {2x + {\pi \over 3}} \right] \ne 0\] và \[\sin {x \over 2} \ne 0\], phương trình đã cho tương đương với phương trình \[\cos \left[ {{{3x} \over 2} + {\pi \over 3}} \right] = 0\Leftrightarrow x = {\pi \over 9} + k{{2\pi } \over 3}\]
Thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.
LG d
\[\sin 2x + 2\cot x = 3\]
Lời giải chi tiết:
Sử dụng công thức \[\sin 2x = {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}},\] ta có:
\[\sin 2x + 2\cot x = 3 \]
\[\Leftrightarrow {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}} + {2 \over {\tan x}} = 3\]
Giải tiếp phương trình này với điều kiện \[\tan x \ne 0\] ta được:\[x = {\pi \over 4} + k\pi \]