- LG a
- LG b
- LG c
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
LG a
y = |x2 1| và y = 5 + |x|
Lời giải chi tiết:
Hai hàm số y = |x2 1| và y = 5 + |x| đều là hàm số chẵn. Miền cần tính diện tích được thể hiện ở hình 97. Do tính đối xứng qua trục tung, ta có:
\[S = 2\int\limits_0^3 {[5 + |x| - |{x^2} - 1|]dx}\]
\[ = 2\left[ {\int\limits_0^1 {[5 + x - 1 + {x^2}]dx + \int\limits_1^3 {[5 + x - {x^2} + 1]dx} } } \right]\]
\[ = 2\left[ {[{1 \over 3}{x^3} + {1 \over 2}{x^2} + 4x]\left| {\matrix{1 \cr 0 \cr} + [ - {1 \over 3}{x^3} + {1 \over 2}{x^2} + 6x]\left| {\matrix{3 \cr 1 \cr} } \right.} \right.} \right]\]
\[= 24{1 \over 3}\] [đơn vị diện tích]
LG b
2y = x2+ x 6 và 2y = -x2+ 3x + 6
Lời giải chi tiết:
Miền cần tính diện tích được thể hiện bởi Hình 98 [học sinh tự làm]
Như vậy, với mọi\[x \in [ - 2;3]\] đồ thị của hàm số \[y = - {1 \over 2}{x^2} + {3 \over 2}x + 3\]nằm phía trên đồ thị của hàm số \[y = {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 2}x - 3\].
Vậy ta có:
\[S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left[ {[ - {1 \over 2}{x^2} + {3 \over 2}x + 3] - [{1 \over 2}{x^2} + {1 \over 2}x - 3]} \right]} dx\]
\[= \int\limits_{ - 2}^3 {[ - {x^2} + x + 6]} dx = 20{5 \over 6}\] [đơn vị diện tích]
LG c
\[y = {1 \over x} + 1,x = 1\]và tiếp tuyến với đường \[y = {1 \over x} + 1\] tại điểm \[[2;{3 \over 2}]\]
Lời giải chi tiết:
Miền cần tính diện tích được thể hiện trên hình:
\[S = \int\limits_1^2 {\left[ {{1 \over x} + 1 - [ - {1 \over 4}x + 2]} \right]} dx\]
\[= \int\limits_1^2 {[{1 \over x} + {1 \over 4}x - 1]dx = \ln 2 - {5 \over 8}} \][đơn vị diện tích]
[vì tiếp tuyến với đồ thị của \[y = {1 \over x} + 1\]tại điểm \[[2;{3 \over 2}]\]có phương trình là \[y = f'[2][x - 2] + {3 \over 2} = - {1 \over 4}x + 2\]]