- LG a
- LG b
LG a
Cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\]
Xác địnhmđể nó là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Ta cóa = -2m, b = 2, c = m,\[d = {m^2} + 4m.\]
Phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi
\[\eqalign{ & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {[ - 2m]^2} + {2^2} + {m^2} - {m^2} - 4m > 0 \cr & \Leftrightarrow {\left[ {2m - 1} \right]^2} + 3 > 0\;\forall m. \cr} \]
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọim. Bán kính mặt cầu là :
\[R = \sqrt {{{\left[ {2m - 1} \right]}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \Rightarrow {R_{\min }} = \sqrt 3 \] khi \[m = {1 \over 2}.\]
LG b
Cho phương trình:
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x\cos \alpha - 2y\sin \alpha - 4z \]
\[- [4 + {\sin ^2}\alpha ] = 0\]
Xác định \[\alpha \] để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm \[\alpha \] để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Ta có :\[a = \cos \alpha ,b = - \sin \alpha ,c = - 2,d = - [4 + {\sin ^2}\alpha ]\]
\[\eqalign{ & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha + 4 + 4 + {\sin ^2}\alpha \cr & = 9 + {\sin ^2}\alpha > 0\;\forall \alpha . \cr} \]
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi \[\alpha \].
Khi đó \[R = \sqrt {9 + {{\sin }^2}\alpha } \]
Vì \[0 \le {\sin ^2}\alpha \le 1\] nên \[3 \le R \le \sqrt {10} \]
Vậy \[{R_{\min }} = 3\] khi \[\alpha = k\pi ,[k \in \mathbb Z].\]
\[{R_{\max }} = \sqrt {10} \] khi \[\alpha = {\pi \over 2} + l\pi [l \in \mathbb Z].\]