- LG a
- LG b
Xét tính liên tục của các hàm số sau:
LG a
\[f\left[ x \right] = \sqrt {x + 5}\]tại \[x = 4 \]
Phương pháp giải:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[{x_0}\] \[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\].
Lời giải chi tiết:
Hàm số \[f\left[ x \right] = \sqrt {x + 5} \]có tập xác địnhlà\[{\rm{[}} - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty ]\]. Do đó, nó xác định trên khoảng \[\left[ { - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right]\]chứa x = 4
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \sqrt {x + 5} = 3 = f\left[ 4 \right]\]nên \[f\left[ x \right]\]liên tục tại x = 4
LG b
\[g\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 1 \hfill \cr
- 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\] tại \[x = 1\]
Phương pháp giải:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[{x_0}\] \[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\].
Lời giải chi tiết:
Hàm số: \[g\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 1 \hfill \cr
- 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\] có tập xác định là R
Ta có, \[g\left[ 1 \right] = - 2\] [1]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\left[ {x - 1} \right]\left[ {\sqrt {2 - x} + 1} \right]} \over {1 - x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ { - \sqrt {2 - x} - 1} \right] = - 2 \cr}\] [2]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ { - 2x} \right] = - 2\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left[ x \right] = - 2 = g\left[ 1 \right]\]
Vậy g[x] liên tục tại x = 1.