- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm các giới hạn sau :
LG a
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of{{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left[ {2{x^2} - 1} \right]\left[ {{x^3} + x} \right]}}} \]
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Lời giải chi tiết:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left[ {2{x^2} - 1} \right]\left[ {{x^3} + x} \right]}}} \] \[= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt[3]{{\frac{{\frac{{2{x^5} + {x^3} - 1}}{{{x^5}}}}}{{\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2}}}.\frac{{{x^3} + x}}{{{x^3}}}}}}}\] \[= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^5}}}} \over {\left[ {2 - {1 \over {{x^2}}}} \right]\left[ {1 + {1 \over {{x^2}}}} \right]}}} \] \[\sqrt[3]{{\frac{{2 + 0 - 0}}{{\left[ {2 - 0} \right]\left[ {1 + 0} \right]}}}}\]\[= 1\]
LG b
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }}\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2\left| x \right| + 3}}{{\sqrt {{x^2}\left[ {1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right]} }}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2x + 3} \over { - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }}\cr & =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2 - {3 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }}=2 \cr} \]
LG c
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}}\]
Lời giải chi tiết:
\[{x^2} + x \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\,\text{ hoặc }\,x \ge 0\]
Với mọi \[x -1\], \[x \ne - {3 \over 2}\]
\[{{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} \] \[= \frac{{\sqrt {{x^2}\left[ {1 + \frac{1}{x}} \right] + 2x} }}{{2x + 3}}\] \[= {{\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} = {{ - x\sqrt {1+ {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} \] \[= {{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}\]
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} \] \[=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }{{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}\] \[= \frac{{ - 1 + 2}}{{2 + 0}}= {1 \over 2}\]
LG d
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + 1} \right]\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \]
Phương pháp giải:
Đưa thừa số vào trong dấu căn, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + 1} \right]\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{x{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{x\left[ {{x^2} + 2x + 1} \right]}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{\frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{{x^4}}}}}{{\frac{{2{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^4}}}}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{1 \over x} + {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {2 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^4}}}}}} \cr &= \sqrt {\frac{{0 + 0 + 0}}{{2 + 0 + 0}}} = 0 \cr} \]