- LG a
- LG b
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[AA' = a, AB = b, AD = c\].
LG a
a] Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
Phương pháp giải:
Xác định tâm và bán kính của hình hộp dựa vào tính chất các đường chéo của hình hộp thì bằng nhau
Lời giải chi tiết:
Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo \[\displaystyle AC', BD', CA' và DB'\] cắt nhau tại điểm \[\displaystyle I\] là trung điểm của mỗi đường.
Vì \[\displaystyle 4\] đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm \[\displaystyle I\] cách đều \[\displaystyle 8\] đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.
Vì \[\displaystyle AB = b, AD = c, AA' = a\] nên bán kính mặt cầu \[\displaystyle R = {1 \over 2}A'C\]
\[\Delta A'AC\] vuông tại A nên theo Pitago ta có: \[A'{C^2} = A'{A^2} + A{C^2}\]
\[\Delta ABC\] vuông tại B nên theo Pitago ta có: \[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\] \[ = {b^2} + {c^2}\]
Do đó
\[\begin{array}{l}A'{C^2} = A'{A^2} + A{C^2}\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\ \Rightarrow A'C = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\ \Rightarrow R = \frac{{A'C}}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\end{array}\]
LG b
b] Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng \[[ABCD]\] với mặt cầu trên.
Phương pháp giải:
Đường tròn cần tìm là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \[ABCD\].
Lời giải chi tiết:
Giao tuyến của mặt phẳng\[\displaystyle [ ABCD]\] với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật \[\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\] là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \[\displaystyle ABCD\]. Nên bán kính của đường trong giao tuyến là:
\[\displaystyle r = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \]