- LG câu a
- LG câu b
- LG câu c
- LG câu d
Tính các nguyên hàm sau đây:
LG câu a
a] \[\int {[x + \ln x]{x^2}dx} \]
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Giải chi tiết:
Đặt \[u = x + \ln x;dv = {x^2}dx\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left[ {1 + \dfrac{1}{x}} \right]dx\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\]
Khi đó \[\int {[x + \ln x]{x^2}dx} \]\[ = \dfrac{{{x^3}}}{3}\left[ {x + \ln x} \right] - \int {\dfrac{{{x^3}}}{3}\left[ {1 + \dfrac{1}{x}} \right]dx} \]
\[ = \dfrac{{{x^4}}}{3} + \dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x - \int {\left[ {\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3}} \right]dx} \] \[ = \dfrac{{{x^4}}}{3} + \dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x - \dfrac{{{x^4}}}{{12}} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C\] \[ = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{3}\left[ {\ln x - \dfrac{1}{3}} \right] + C\].
LG câu b
b] \[\int {[x + {{\sin }^2}x]\sin xdx} \]
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Giải chi tiết:
Đặt \[u = x + {\sin ^2}x,dv = \sin xdx\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left[ {1 + 2\sin x\cos x} \right]dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\]
LG câu c
c] \[\int {[x + {e^x}]{e^{2x}}dx} \]
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Giải chi tiết:
Đặt \[u = x + {e^x},dv = {e^{2x}}dx\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left[ {1 + {e^x}} \right]dx\\v = \dfrac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right.\]
LG câu d
d] \[\int {[x + \sin x]\dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \]
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Giải chi tiết:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x + \sin x\\dv = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left[ {1 + \cos x} \right]dx\\v = \tan x\end{array} \right.\]