1. Giải và biện luận bất phương trình dạng \[ax + b < 0\]
Cho bất phương trình \[ax + b < 0\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Dưới đây là phương pháp giải và biện luận bất phương trình $ax + b < 0$. Các bất phương trình$ax + b \le 0, ax + b > 0$,$ax + b \ge 0$ được làm tương tự.
Ví dụ: Giải và biện luận: \[mx + 1 < 0\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\].
- Nếu \[m > 0\] thì \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow x < - \dfrac{1}{m}\] nên tập nghiệm \[S = \left[ { - \infty ; - \dfrac{1}{m}} \right]\].
- Nếu \[m < 0\] thì \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow x > - \dfrac{1}{m}\] nên tập nghiệm \[S = \left[ { - \dfrac{1}{m}; + \infty } \right]\].
- Nếu \[m = 0\] thì \[\left[ 1 \right]\] trở thành \[1 < 0\] [sai] nên bất phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+] Nếu \[m > 0\] thì bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ { - \infty ; - \dfrac{1}{m}} \right]\]
+] Nếu \[m < 0\] thì bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ { - \dfrac{1}{m}; + \infty } \right]\]
+] Nếu \[m = 0\] thì bất phương trình vô nghiệm.
2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ: Giải hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - 2x > - 3\end{array} \right.\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - 2x > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x < 4\\ - 2x > - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 2\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left[ { - \infty ;2} \right]\]