- LG a
- LG b
Cho tam giác cânABC,AB= AC.Một điểmMthay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [ABC] tạiA [Mkhông trùng với điểmA].
LG a
Tìm quỹ tích trọng tâmGvà trực tâmHcủa tam giácMBC.
Lời giải chi tiết:
Nếu gọiElà trung điểm củaBC[h.l08a] thì trọng tâmGcủa tam giácMBCxác định bởi \[\overrightarrow {EG} = {1 \over 3}\overrightarrow {EM} .\] Từ đó, khiMvạch đường thẳng \[\Delta \] vuông góc với mp[ABC] tạiA\[\left[ {M \ne \;A} \right]\]thìGvạch đường thẳng \[\Delta \]' vuông góc với mp[ABC]tại trọng tâmDcủa tam giácABC[trừ điểmD].
Do AB = AC nên các tam giác vuôngMAB, MACbằng nhau, vậyMEvàAEcùng vuông góc vớiBC. Từ đó trực tâmHcủa tam giácMBCthuộcME[h.l08b]
Trong mặt phẳng [AME], đường thẳng vuông góc vớiMEtại trực tâmHcủa tam giácMBCcắtAEtạiOthì doBC\[ \bot \] [AEM] nênBC\[ \bot \]OH, từ đóOH\[ \bot \] [MBC].
Ta cóBM\[ \bot \]CHmàBM\[ \bot \]OHnênBM \[ \bot \] [OHC], do đóOC\[ \bot \]BM, nhưngOC\[ \bot \]AMnênOC\[ \bot \] [ABM]. VậyOC\[ \bot \]AB.
ĐiểmOthuộc đường caoOCvà đường caoAEcủa tam giácABCnênOlà trực tâm của tam giácABC.
Như vậy, khi \[M{\rm{ }} \in {\rm{ }}\Delta{\rm{ }}[M \ne A]\] thìHlà trực tâm của tam giácMBCkhi và chỉ khiHlà hình chiếu của trực tâmOcủa tam giácABCtrênME.
Vậy quỹ tích củaHlà đường tròn đường kínhOE[bỏ hai điểmO,E] trong mặt phẳng trung trực củaBC.
LG b
GọiOlà trực tâm của tam giácABC,hãy xác định vị trí của điểmMđể thể tích khối tứ diệnOHBCđạt giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
[h.108b].
\[{V_{OHBC}} = 2{V_{OHBE}} = {2 \over 3}{S_{OHE}}.BE\] [vì [OHE] là mặt phăng trung trực củaBC] nênVOHBClớn nhất khi và chỉ khiSOHElớn nhất.
Tam giác vuôngOHEcó cạnh huyềnOEcố định nên có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi tam giác đó vuông cân, tứcHEO= 45° hayAM=AE.
Vậy có hai vị trí củaMtrên \[\Delta \] đểVOHBCđạt cực đại, đó là các điểmMsao choAM=AE