Chương I
cơ sở lí luận và thực tiễn
1. Một số khái niệm cơ bản
Trước khi đi vào nội dung chính của khoá luận, xin được làm rõ một số khái niệm cơ bản có liên quan.
1.1. Phương pháp suy luận
Suy luận là một hình thức tư duy mà từ một hay nhiều phán đốn đã có tiên đề ta rút ra được một số phán đoán mới kết luận. Suy luận là một quá trình nhận thức hiện
thực gián tiếp. Nói chung có hai loại suy luận cơ bản: suy luận suy diễn và suy luận quy nạp xem [13].
1.2. Suy luận suy diễn.
Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, từ quy luật phổ biến đến trường hợp cụ thể. Do vậy kết luận bao giờ cũng đúng. Chẳng hạn một quy
tắc suy luận thường dùng là:
, A
B A B
tam đoạn luận khẳng định.
1.3. Suy luận quy nạp.
Theo từ điển tốn học thơng dụng xem [7], tr. 494, phương pháp quy nạp là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp
riêng lẽ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát. Sau đây là các loại suy luận quy nạp.
a Quy nạp toán học
Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó là suy diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n= 0
hoặc n = p. Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quan trọng trong toán học, cơ sở của nó là ngun lí quy nạp tốn học. Phương pháp này được đưa
vào chương trình đại số và giải tích 11.
b Quy nạp hồn tồn
6
Quy nạp hồn tồn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút ra trên cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó.
Quy nạp hồn tồn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối tượng thuộc phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng. Ta có sơ đồ khái quát như sau:
1
S
là P
2
S là P ...
n
S
là P _________
S là P.
tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P. Phương pháp này được đưa vào chương trình tốn phổ thơng ở dạng ẩn tàng.
Ví dụ: - Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định lí:
Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Chương trình hình học 10, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXBGD 2003, Đồn Quỳnh tổng chủ biên, tr.42 trình bày chứng minh định lý sin trong tam
giác: 2
sin sin
sin a
b c
R A
B C
= =
= với A, B, C là ba đỉnh; a, b, c là ba cạnh và 2R là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC.
c Quy nạp khơng hồn tồn.
Quy nạp khơng hồn tồn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung về lớp đối tượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối tượng của
lớp ấy. Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớp song kết
luận lại rút ra chung cho cả lớp đó. Chúng ta dự đốn kết quả tổng quát sau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thơi.
7
Quy nạp khơng hồn tồn khơng thể xem là một phương pháp chứng minh trong tốn học. Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới, có thể đưa
đến kết luận đúng. Chẳng hạn, để tìm cơng thức của tổng n số lẽ đầu tiên, ta xét các trường hợp riêng:
2
1 1 1 = =
2
1 3 4 2 + = =
2
1 3 5 9 3 + + = =
2
1 3 5 7 16 4 + + + =
=
2
1 3 5 7 9 25 5 + + + + =
=
...
Các kết quả này cho phép dự đoán
2
1 3 5 7 ... 2 1 n
n + + + + +
= , tức là tổng của n số
lẻ đầu tiên bằng
2
n . Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chứng minh bằng quy nạp tốn học. Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp khơng hồn tồn cũng có thể đưa đến
kết luận sai. Ví dụ xét các số dạng
2
2 1
n
+
số Fermat. Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta được các số tương ứng là 3, 17, 137 đều là các số nguyên tố. Do đó ta có thể nghĩ rằng tất cả
các số Fermat đều là các số nguyên tố. Song kết luận này không đúng. Với n = 4, Euler đã chỉ ra rằng
4
2
2 1
+
chia hết cho 641. Nói tóm lại, kết quả tìm được bằng phương pháp quy nạp khơng hồn tồn chỉ là một giả thuyết, chừng nào nó chưa được chứng minh.
Trong tốn học, phương pháp quy nạp hồn tồn nói chung, chỉ được sử dụng một cách có giới hạn vì đa số mệnh đề tốn học được bao gồm vơ số trường hợp riêng.
Do đó nói chung khơng thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn được. Còn phương pháp quy nạp khơng hồn tồn, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn
trong việc tìm tòi, dự đốn, tìm ra tri thức mới. Polya khẳng định: Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí
hay còn được giáo sư Hồng Chúng gọi là suy luận nghe có lí. Trong khố luận này chỉ dám đề cập đến quy nạp, chủ yếu là quy nạp không hoàn toàn.
2. Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học tốn
8
Mục này được trình bày theo G.Polya xem [4] ở Lời nói đầu. Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, còn suy luận
suy diễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh. Để làm rõ mối quan hệ của chúng, ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh và suy luận có lí.
Trong tốn học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minh nhưng viện trợ các giả thuyết bằng các suy luận có lí.
Một chứng minh tốn học là suy luận chứng minh còn kết luận quy nạp của các nhà vật lí, hố học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật sư, những dẫn
chứng tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế học,... đều thuộc về các suy luận có lí.