Phương trình chính tắc của đường thẳng oxyz

Lớp 10: Hình học 10, chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc \[Oxy\], cho đường thẳng \[d\] qua \[M_0[x_0;y_0]\] và nhận \[\overrightarrow{u}=[a;b]\ne\overrightarrow{0}\] làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \[d\] là \[\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.\]

Trong trường hợp \[a\] và \[b\] đều khác \[0\] thì \[t=\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}\] ta có phương trình chính tắc của đường thẳng \[d\] là
\[\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}\]

Lớp 12: Hình học 12, chương 3: Phương pháp toạ độ trong không gian

Trong không gian với hệ trục toạ độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \[d\] qua \[M_0[x_0;y_0;z_0]\] và nhận \[\overrightarrow{u}=[a;b;c] \ne\overrightarrow{0}\] làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \[d\] là \[\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{array}\right.\]

Trong trường hợp \[a, b\] và \[c\] đều khác \[0\] thì \[t=\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}\] ta có phương trình chính tắc của đường thẳng \[d\] là
\[\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}\]

Video học lý thuyết và ví dụ phương trình đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Trong không gian \[Oxyz\], viết phương trình chính tắc của đường thẳng \[d\] biết nó đi qua điểm \[M_[1;0;-2]\] và nhận \[\overrightarrow{u}=[1;2;-3]\] làm vectơ chỉ phương.

Giải. Phương trình chính tắc của đường thẳng trên là \[\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+2}{3}.\]

Chú ý. Nếu \[\overrightarrow{u}\] là một vectơ chỉ phương của \[d\] thì với mọi \[k \ne 0\], vectơ \[k\overrightarrow{u}\] cũng là vectơ chỉ phương của \[d.\] Do đó, một đường thẳng có vô số phương trình tham số, vô số phương trình chính tắc.

Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M[2;-1;3] và có véc tơ chỉ phương u→=1;2;-4là

Đáp án chính xác

Xem lời giải

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm

và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là :

+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm và nhận vectơ sao cho a.b.c ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :

Quảng cáo

1. Góc giữa hai đường thẳng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d1; d2. Trong đó:

· Đường thẳng d1 vectơ chỉ phương u1→

· Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u2→

· Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi:

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d và mặt phẳng [P]. Trong đó:

· Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→

· Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến là n→

· Gọi φ là góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng [P]. Khi đó ,ta có:

Quảng cáo

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua điểm M0[ x0; y0; z0] và có vecto chỉ phương u→.

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. Trong đó:

·Đường thẳng d1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u1→

· Đường thẳng d2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương u2→

·Khoảng cách hai đường thẳng d1 và d2 là:

1. Phương pháp giải

Nếu đường thẳng d đi qua điểm M[xo; yo; zo] và vecto chỉ phương u→ [ a; b; c] thì

+ Phương trình tham số của đường thẳng d:

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d [ với a.b.c ≠ 0 ] là:

* Chú ý:

+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng [α] thì vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [α] vì d ⊥[α]

+ Nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng d nhận vecto ud→ = uΔ→ làm vecto chỉ phương .

Quảng cáo

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A [2 ; 1 ; 5] và có vectơ chỉ phương u→=[1;1;2]. Tìm mệnh đề đúng

A. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

B. Phương trình tham số của đường thẳng d:

C. Phương trình tham số của đường thẳng d:

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:

Trong đó t là tham số

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ đi qua A[1;0; -1] và vuông góc với mặt phẳng [P]: 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?

A. Vậy phương trình tham số của ∆ là

B. Phương trình chính tắc của ∆ là

C. Vậy phương trình tham số của ∆ là:

D. Phương trình chính tắc của ∆ là

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng [α] nên vectơ chỉ phương của ∆ là:

u∆→ = nα→ = [2; -1;1]

Vậy phương trình tham số của ∆ là

Phương trình chính tắc của ∆ là

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A [1; 2; 3] và song song với [d’]:

. Tìm mệnh đề sai

A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ [ -4; 4; 2]

B. Vậy phương trình tham số của d là

C. Phương trình chính tắc của d là

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: ud→ = ud'→ = [ 2; -2; -1]

Vậy phương trình tham số của d là

Phương trình chính tắc của d là

Chọn D.

1. Phương pháp giải

Cách 1:

+ Cả hai trường hợp đều suy ra ud→⊥nP→ và ud→⊥nQ→

Mà [P] và [Q] cắt nhau nên VTCP của d là ud→⊥ [nP→; nQ→]

+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.

+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto ud→⊥ [nP→; nQ→] làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cách 2:

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau [P] và [Q] thì với mỗi điểm

M [ x; y;z] thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:

phương trình [P] và Phương trình [Q] [*]

Đặt x= t [ hoặc y = t hoặc z = t] thay vào hệ [*] rồi rút y; z theo t

Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng [α]: x- 3y + z = 0 và [α’]: x+y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d

Hướng dẫn giải:

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ [*]

Ta có hệ

Vậy điểm Mo[ -2; 0; 2] thuộc đường thẳng d.

Do uα→ [ 1;-3; 1]; n'α→[ 1; 1; -1]

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→[1;1;2]

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→[1; 1;2]

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng [P]: y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ [Oyz].

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là [1; 1;2]

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng [Oyz] có phương trình x= 0

Điểm M [x; y; z]∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z= t ta được:

là phương trình đường thẳng d

Chọn A.

1. Phương pháp giải

Do đường thẳng song song với mặt phẳng [ P] và vuông góc với đường thẳng d’ nên

Suy ra ud→⊥nP→ và ud→⊥ ud'→

Mà d’ không vuông góc với [P]

Nên VTCP của d là ud→ = [nP→;ud'→]

+ Đường thẳng d đi qua điểm M[ đã biết] và nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M [1; 2; -1], song song với mặt phẳng [P]: x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’:

Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là nP→[1; 1; -1]

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: ud'→[1; 3; 2]

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [nP→; ud'→] =[ 5; -3; 2]

d đi qua điểm M [1; 2; -1]

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M [0; 1; 2], song song với mặt phẳng [Oxy] và vuông góc với đường thẳng

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng [Oxy] là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là nOxy→[0; 0; 1]

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là ud'→[1; -2; 1]

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [Oxy] và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [ud'→;nOxy→] = [ 2; 1; 0]

d đi qua điểm M [0; 1; 2]

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn C.

1. Phương pháp giải

+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng ∆: u∆→

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] và [Q]: nP→; nQ→

+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

u→ = [u∆→; nP→] hoặc [nP→; nQ→]

+ Khi đó; đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u→

=> phương trình đường thẳng d:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆:

và mặt phẳng [P]: x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M[ 1; -1; 1]; nằm trong mặt phẳng [P] và vuông góc với đường thẳng ∆?

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u∆→[ 1; 2; -1]

Mặt phẳng [ P] có vecto pháp tuyến n→[ 1; -2; 3].

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

u→ = [u∆→; n→] = [ 4; - 4; - 4] chọn [ 1; -1; -1] .

=> Phương trình đường thẳng d cần tìm

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ :

và mặt [P]: x+ 2y – 3z+ 4= 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong [P] , cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là:

Hướng dẫn giải:

+ Tìm giao điểm M của ∆ và mặt phẳng [ P]:

Điểm M[ - 2+ t; 2+ t;- t] thuộc ∆.

Thay tọa độ M vào phương trình [P] ta được:

- 2+ t+ 2[2+ t] – 3[ - t] + 4= 0 ⇔ - 2+ t + 4 + 2t + 3t + 4= 0

⇔ 6t+ 6= 0 nên t= -1 => M [ - 3; 1; 1]

+ Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến uP→[ 1; 2;-3]

+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u∆→[ 1; 1; -1]

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P]và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u→=[nP→;u∆→] = [1; -2; -1]

+ Đường thẳng d đi qua điểm M[ -3; 1; 1] và có vectơ chỉ phương là u→ = [1; -2; -1]

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn B.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp