Dạng toán tìm số giá trị nguyên của m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước là một bài toán ít gặp trong chương trình toán lớp 12, tuy nhiên bài toán thường gây nhiều bỡ ngỡ cho gặp lần đầu. Và khi đề thi chuyển dần sang trắc nghiệm, dạng toán này lại được khai thác rất nhiều. Để giải bài toán này chúng ta cũng thực hiện biện luận m theo điều kiện của bài toán, riêng đến phần kết luận thực hiện phép đếm các phần tử.
Tóm tắt kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến
1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f[x] xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.
a] Hàm số y = f[x] đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] < f[x₂].
b] Hàm số y = f[x] nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] > f[x₂].
2. Định lí
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K .
a] Nếu f’[x] > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K .
b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K .
c] Nếu f’[x] = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] không đổi trên K .
Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] > 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] < 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].
3. Định lí mở rộng
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K.
a] Nếu f’[x] ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
b] Nếu f’[x] ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm f’[x]. Tìm các điểm xᵢ [i = 1, 2, …,n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Các ví dụ mẫu và cách giải
Gặp dạng toán này chúng ta giải tương tự như các bài toán tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng. Tuy nhiên sau khi có kết quả chúng ta cần phải đếm số giá trị nguyên của m. Do đó các bước giải bài tập cần phải trình bày thật chính xác.
Ví dụ 1. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = [m2 – 1] x3 + [m – 1] x2 – x + 4 nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞].
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Lời giải
Chọn C
TH1: m = 1.
Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.
TH2: m = -1.
Ta có: y = -2x2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.
TH3: m ≠ ±1.
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞] ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ. Dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.
⇔ 3[m2 – 1] x2 + 2[m – 1] x – 1 ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m = 0
Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = -x3 – mx2 + [4m + 9] x + 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞]
A. 5
B. 4
C. 6
D. 7
Lời giải
Chọn D
Ta có:
TXĐ: D = ℝ
y’ = -3x2 – 2mx + 4m + 9
Hàm số nghịch biến trên [-∞; +∞] khi y’ ≤ 0, ∀ x ∊ [-∞; +∞]
⇔ m ∊ [-9; -3]
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Ví dụ 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá tr nguyên của tham số m để hàm số hàm số y = ⅓[m2 – m] x3 + 2mx2 + 3x – 2 đồng biến trên khoảng [-∞; +∞]?
A. 4
B. 5
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn A
y’ = [m2 – m] x2 + 4mx + 3
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [-∞; +∞] ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
+] Với m = 0
Ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng [-∞; +∞]
+] Với m = 1
Ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.
+ Với
Ta có y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ -3 ≤ m < 0
Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0
Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2: -1; 0}
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.
Ví dụ 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số trên y = ⅓mx3 – 2mx2 + [3m + 5] x đồng biến trên ℝ.
A. 4
B. 2
C. 5
D. 6
Lời giải
Chọn D
Ta có y’ = mx2 – 4mx + 3m + 5
Với a = 0 ⇔ m = 0 ⇒ y’ = 5 > 0.
Vậy hàm số đồng biến trên ℝ.
Với a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.
Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
Ví dụ 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = ⅓x3 + mx2 + 4x – m đồng biến trên khoảng [-∞; +∞].
A. [-2; 2]
B. [-∞; 2]
C. [-∞; -2]
D. [2; +∞]
Lời giải
Chọn A
Ta có: y’ = x2 + 2mx + 4
Hàm số đồng biến trên khoảng [-∞; +∞] khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ [-∞; +∞].
⇔ ∆ = m2 – 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.
BÀI HỌC LIÊN QUAN– Tính đơn điệu của hàm số
– Hàm số đồng biến nghịch biến
– Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng
– Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
– Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên đoạn có độ dài
Tốt nghiệp cử nhân ngôn ngữ Anh năm 2010, với hơn 10 năm kinh nghiệm trong việc giảng dạy về Tiếng Anh. Nguyễn Võ Mạnh Khôi là một trong những biên tập viên về mảng ngoại ngữ tốt nhất tại VerbaLearn. Mong rằng những chia sẽ về kinh nghiệm học tập cũng như kiến thức trong từng bài giảng sẽ giúp độc giả giải đáp được nhiều thắc mắc.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
Bước 1: Tìm y'
Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≥ 0 ∀ x ∈ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≤ 0 ∀x ∈ K
Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g[x] hoặc m ≤ g[x]
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g[x]
Bước 4: Kết luận
m ≥ g[x] ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥
m ≤ g[x] ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤
Một số hàm số thường gặp
Hàm đa thức bậc ba: y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0]
⇒ f'[x] = 3ax2 + 2bx + c
Với a > 0 và f'[x] có hai nghiệm phân biệt x1 < x2
Hàm số đồng biến trên [α; β] khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x2
Hàm số nghịch biến trên [α; β] khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2
Với a 0 và -d/c ∉ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad - bc < 0 và -d/c ∉ K
Quảng cáo
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 - mx2+[1 - 2m]x- 1 đồng biến trên [1; +∞]
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y' = x2 - 2mx + 1 - 2m
Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞]⇔ ∀ x ∈[1; +∞],y' ≥ 0
⇔ ∀ x ∈ [1; +∞], x2 -2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈[1; +∞], x2 + 1 ≥ 2m[x + 1]
⇔ ∀ x ∈[1; +∞],2m ≤ [x2 + 1]/[x + 1] [do x + 1 > 0 khi x > 1]
Xét hàm số f[x] = [x2 + 1]/[x + 1], x ∈ [1; +∞]
f'[x] = [x2 + 2x - 1]/[x + 1]2 >0 với mọi x [1;+∞]
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f[x],∀ x ∈[1; +∞] thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2
Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = [2x - 1]/[x - m] nghịch biến trên khoảng [2; 3]
Hướng dẫn
TXĐ: D=R\{m}.
Ta có y'= [-2m + 1]/[x - m]2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng [2; 3] thì hàm só phải xác định trên khoảng [2; 3] và y' < 0 ∀ x ∈ [2; 3].
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là
Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx3 - x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên [-3 ; 0]
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y'= 3mx2 - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng [-3; 0] khi và chỉ khi:
y' ≥ 0,∀ x ∈[-3; 0] [Dấu '' = '' xảy ra tại hữu hạn điểm trên [-3; 0]]
⇔ 3mx2 - 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈[-3; 0]
⇔ m ≥[2x-3]/[3x2 ] = g[x] ∀ x ∈[-3;0]
Ta có: g'[x] = [-2x + 6]/[3x3 ]; g'[x] = 0 ⇔ x = 3
Bảng biến thiên
Vậy m ≥
Quảng cáo
Câu 1: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx2 - [m + 6]x nghịch biến trên khoảng [-1; +∞]
Ta có:
y' = 2mx - [m + 6]. Theo yêu cầu bài toán ta có y' ≤ 0,∀ x ∈[-1; +∞].
⇒ 2mx - [m + 6] ≤ 0 ⇔ m ≤ .
Xét hàm số g[x] = với x ∈ [-1;+∞].
Bảng biến thiên
Vậy -2 ≤ m ≤ 0.
Câu 2: Cho hàm số y = x3-3mx2+3[m2 - 1]x - 2m + 3. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng [1; 2].
Tập xác định: D = R
Đạo hàm y'=3x2-6mx+3[m2-1]
Hàm số nghịch biến trên khoảng [1; 2]⇔ y' ≤ 0 ∀ x ∈[1; 2]
Ta có Δ'= 9m2-9[m2-1]= 9 > 0 ∀m
Suy ra y' luôn có hai nghiệm phân biệt x1 = m - 1; x2 = m + 1[x1 0 ∀ x ∈[4; +∞]]
Xét hàm
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên của h[x] suy ra,∀ x ∈[4; +∞],h[x] ≤ m m ≥-1.
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng [π/4; π/2] khi và chỉ khi:
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m ≤ 0
Câu 7: Tìm m để hàm số
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞] ⇔
x2 + 2mx - 4m ≥ 0,∀ x ∈[1; +∞]⇔
Kết hợp với đk m > -1 ta được -1 < m ≤ 1/2.
Câu 8: Với giá trị nào của m thì hàm số y=√[x2+2mx+m2+1] đồng biến trên khoảng [1; +∞].
Đặt f[x] = x2 + 2mx + m2 + 1;
ta có Δ[f[x]]'=m2-m2-1 = -1 < 0;a = 1 > 0 nên f[x]> 0 ∀ x ∈R.
Ta có
Hàm số đồng biến trên khoảng [1; +∞] khi và chỉ khi y ' ≥ 0 ∀ x > 1
⇔ x + m ≥ 0 ⇔ m ≥ -x
Xét g[x] = -x ; g'[x]= - 1 < 0 ∀x1
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≥ -1.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp