- 4.27
- 4.28
- 4.29
- 4.30
- 4.31
Chọn đáp án đúng:
4.27
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3} + {x^2} + 1} \right]\] bằng:
A. 1 B. + C. - D. -1
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Chọn đáp án từ nhận xét Giới hạn của đa thức bậc lẻ với hệ số của biến bậc cao nhất là a, khi x - bằng + [nếu a âm], bằng - [nếu a dương].
Cách 2: Tính trực tiếp giới hạn.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3} + {x^2} + 1} \right]\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left[ {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right]\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right] = 1 > 0\] nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3} + {x^2} + 1} \right] = - \infty \]
Chọn đáp án:C
4.28
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\left[ {1 + x} \right]}^3} - 1}}{x}\] bằng:
A. 0 B. 1 C. 3 D. +
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bằng cách phân tích tử số ra thừa số.
Lời giải chi tiết:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\left[ {1 + x} \right]}^3} - 1}}{x}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 + 3x + 3{x^2} + {x^3} - 1}}{x}\] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left[ {3 + 3x + {x^2}} \right]}}{x}\] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {3 + 3x + {x^2}} \right]\] \[ = 3 + 3.0 + {0^2} = 3\]
Chọn đáp án:C
4.29
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x + 2}}\] bằng:
A. 0 B. 1 C. -2/3 D. -
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bằng cách nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số.
Lời giải chi tiết:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x + 2}}\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{\left[ {\sqrt {{x^2} + 5} - 3} \right]\left[ {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right]}}{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} + 5 - 9}}{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 2} \right]}}{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}\\ = \dfrac{{ - 2 - 2}}{{\sqrt {4 + 5} + 3}} = - \dfrac{2}{3}\end{array}\]
Chọn đáp án:C
4.30
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2{x^4} + 15x + 6}}{{{x^3} - 5x + 2}}\]bằng:
A. 2 B. 3 C. + D. -
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bằng cách chia tử số và mẫu số cho x3hoặc x4.
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2{x^4} + 15x + 6}}{{{x^3} - 5x + 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^4}\left[ {2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}} \right]}}{{{x^4}\left[ {\dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{{{x^3}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}}} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}}}{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{{{x^3}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}}}}\\ = - \infty \end{array}\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}} \right] = 2 > 0\] và \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{{{x^3}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}}} \right] = 0\\\dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{{{x^3}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}} < 0,\forall x < 0\end{array} \right.\]
Cách 2:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2{x^4} + 15x + 6}}{{{x^3} - 5x + 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^4}\left[ {2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}} \right]}}{{{x^3}\left[ {1 - \dfrac{5}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x.\dfrac{{2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}}}{{1 - \dfrac{5}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}}} \right]\\ = - \infty \end{array}\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}}}{{1 - \dfrac{5}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}}\]\[ = \dfrac{{2 + 0 + 0}}{{1 - 0 + 0}} = 2 > 0\]
Chọn đáp án:D
4.31
Cho hàm số\[f\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}mx + 2\,neu\,x \le 1\\\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{3}{{{x^3} - 1}}\,neu\,x > 1\end{array} \right.\]
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f[x] có giới hạn khi x 1?
A. m = -1 B. m = 1
C. m = -2 D. m = 2
Phương pháp giải:
Tính giới hạn trái, giới hạn phải và cho bằng nhau để tính m.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {mx + 2} \right] = m + 2\]
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{3}{{{x^3} - 1}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + x + 1 - 3}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 2} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\\ = \dfrac{{1 + 2}}{{1 + 1 + 1}} = 1\end{array}\]
Để hàm số có giới hạn khi \[x \to 1\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right]\] \[ \Leftrightarrow 2m + 3 = 1 \Leftrightarrow m = - 1\]
Chọn đáp án:A