- LG a
- LG b
Tìm giá trị của tham số \[m\] để hàm số
LG a
\[y = {x^3} + [m + 3]{x^2} + mx - 2\] đạt cực tiểu tại \[x = 1\]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp điều kiện cần, điều kiện đủ.
- Sử dụng điều kiện \[x = {x_0}\] là điểm cực trị của hàm số thì \[f'\left[ {{x_0}} \right] = 0\] tìm \[m\].
- Thay \[m\] tìm được ở trên vào hàm số và kiểm tra \[x = {x_0}\] có là điểm cực trị theo yêu cầu hay không.
Giải chi tiết:
\[y' = 3{x^2} + 2[m + 3]x + m\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\] thì: \[y'[1] = 0 \Leftrightarrow 3m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\]
Thử lại, \[m = - 3\] thì \[y = {x^3} - 3x - 2\].
Khi đó, \[y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\].
\[y'' = 6x;y''[1] = 6 > 0\] nên \[x = 1\] là điểm cực tiểu của hàm số [thỏa mãn yêu cầu]
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\] khi \[m = 3\]
LG b
\[y = - \dfrac{1}{3}[{m^2} + 6m]{x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1\] đạt cực đại tại \[x = - 1\]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp điều kiện cần, điều kiện đủ.
- Sử dụng điều kiện \[x = {x_0}\] là điểm cực trị của hàm số thì \[f'\left[ {{x_0}} \right] = 0\] tìm \[m\].
- Thay \[m\] tìm được ở trên vào hàm số và kiểm tra \[x = {x_0}\] có là điểm cực trị theo yêu cầu hay không.
Giải chi tiết:
\[y' = - [{m^2} + 6m]{x^2} - 4mx + 3\]
\[y'[ - 1] = - {m^2} - 6m + 4m + 3\]\[ = [ - {m^2} - 2m - 1] + 4 = - {[m + 1]^2} + 4\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x = - 1\] thì :
\[y'[ - 1] = - {[m + 1]^2} + 4 = 0\]\[ \Leftrightarrow {[m + 1]^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 1\end{array} \right.\]
Thử lại,
+] Với \[m = - 3\] ta có \[y' = 9{x^2} + 12x + 3\]
\[ \Rightarrow y'' = 18x + 12\]\[ \Rightarrow y''\left[ { - 1} \right] = - 18 + 12 = - 6\; < 0\]
Suy ra hàm số đạt cực đại tại \[x = - 1\] [thỏa mãn].
+] Với \[m = 1\] ta có:
\[y' = - 7{x^2} - 4x + 3\]\[ \Rightarrow y'' = - 14x - 4\] \[ \Rightarrow y''[ - 1] = 10 > 0\]
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \[x = - 1\] [loại].
Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại \[x = - 1\] khi \[m = - 3\].