- LG 1
- LG 2
Cho hìnhchữ nhật ABCD với AB = a, BC = 2a và đường thẳng \[\Delta \] nằm trong mặt phẳng [ABCD], \[\Delta \] song song với AD và cách AD một khoảng bằng x, \[\Delta \] không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD.
LG 1
Tính thể tích của hình tròn xoay tạo nên khi quay hình chữ nhật ABCD quanh \[\Delta \].
Lời giải chi tiết:
Kí hiệuO, Olần lượt là giao điểm của các đường thẳngAB, CDvới \[\Delta \].
GọiVlà thể tích cần tìm,V2là thể tích hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhậtOBCOquanh \[\Delta \] [ vớiOA < OB] hoặc hình tạo nên khi quay hình chữ nhậtOADOquanh \[\Delta \] [vớiOA > OB];
V1là thể tích hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhậtOADOquanh \[\Delta \] [ vớiOA < OB] hoặc hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhậtOBCOquanh \[\Delta \] [ vớiOA > OB]. Khi đóV = V2- V1.
Từ đó, với OA < OB thì
\[V = \pi O{B^2}.BC - \pi O{A^2}.AD\]
\[= 2a\pi \left[ {{{[x + a]}^2} - {x^2}} \right] \]
\[= 2{a^2}\pi [2x + a]\]
và vớiOA > OBthì
\[V = \pi O{A^2}.AD - \pi O{B^2}.BC \]
\[= 2a\pi \left[ {{x^2}-{{[x - a]}^2} } \right] \]
\[= 2{a^2}\pi [2x - a]\]
LG 2
Xác định x để thể tích nói trên gấp ba lần thể tích hình cầu có bán kính bằng cạnh AB.
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối cầu bán kính bằngABlà \[{4 \over 3}\pi {a^3}\].
Theo giả thiết ta có
\[4\pi {a^3} = 2\pi {a^2}[2x + a]\] [với OA < OB]
Hoặc \[4\pi {a^3} = 2\pi {a^2}[2x - a]\] [ với OA > OB].
Từ đó \[x = {a \over 2}\] [ với OA < OB] hoặc \[x = {{3a} \over 2}\] [ với OA > OB].