Bài viết này, boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các phương trình lượng giác cơ bản, kèm hướng dẫn cách giải và các bài tập có lời giải chi tiết.
Lý thuyết phương trình lượng giác
1. Phương trình sin x = sin α, sin x = a
Các trường hợp đặc biệt:
2. Phương trình cos x = cos α, cos x = a
Các trường hợp đặc biệt:
3. Phương trình tan x = tan α, tan x = a
Các trường hợp đặc biệt:
4. Phương trình cot x = cot α, cot x = a
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ [k ∈ Z]
Các trường hợp đặc biệt:
5. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Có dạng at + b = 0 với a, b ∈ Ζ, a ≠ 0,với t là một hàm số lượng giác nào đó
Cách giải:
⇒đưa về phương trình lượng giác cơ bản
6. Một số điều cần chú ý:
a] Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định
b] Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm
3. Giải các phương trình vô định.
c] Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm
Bài tập phương trình lượng giác có lời giải
[Các hình ảnh bên dưới bị lỗi, tất cả k ∈ Z nhé]
Để tham khảo thêm các bài tập khác, bạn có thể tải xuống file tài liệu theo link bên dưới
Trên đây là những kiến thức cơ bản về phương trình lượng giác cơ bản cũng như các giải các dạng bài tập liên quan. Hi vọng qua các chia sẽ này, bạn sẽ dễ dàng nắm vững phần kiến thức này!
Tham khảo thêm:
- Hàm số lượng giác : Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải
Phương pháp: Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình
Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a] sinx = sin[π/6].
c] tanx – 1 = 0
b] 2cosx = 1.
d] cotx = tan2x.
Lời giải
Dạng 2: Phương trình bậc nhất có một hàm lượng giác
Phương pháp: Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Dạng 3: Phương trình bậc hai có một hàm lượng giác
Dạng 4: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
Xét phương trình asinx + bcosx = c [1] với a, b là các số thực khác 0.
Dạng 5: Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng
Phương pháp
Phương trình đối xứng là phương trình có dạng:
a[sinx + cosx] + bsinxcosx + c = 0 [3]
Phương pháp giải:
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:
Thay vào [3] ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:
a[sinx – cosx] + bsinxcosx + c = 0 [4]
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Phần Phương trình lượng giác Toán lớp 11 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Phương trình lượng giác hay nhất tương ứng.
Cách giải phương trình lượng giác cơ bản
- Phương trình sinx = a [1]
♦ |a| > 1: phương trình [1] vô nghiệm.
♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.
Khi đó phương trình [1] có các nghiệm là
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = π-α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện
Khi đó các nghiệm của phương trình [1] là
x = arcsina + k2π, k ∈ Z
và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt:
- Phương trình cosx = a [2]
♦ |a| > 1: phương trình [2] vô nghiệm.
♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.
Khi đó phương trình [2] có các nghiệm là
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = -α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết α = arccos a.
Khi đó các nghiệm của phương trình [2] là
x = arccosa + k2π, k ∈ Z
và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt:
- Phương trình tanx = a [3]
Điều kiện:
Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết α = arctan a.
Khi đó các nghiệm của phương trình [3] là
x = arctana + kπ,k ∈ Z
- Phương trình cotx = a [4]
Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết α = arccot a.
Khi đó các nghiệm của phương trình [4] là
x = arccota + kπ, k ∈ Z
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a] sinx = sin[π/6] c] tanx – 1 = 0
b] 2cosx = 1. d] cotx = tan2x.
Hướng dẫn:
a] sinx = sinπ/6
b]
c] tanx=1⇔cosx= π/4+kπ [k ∈ Z]
d] cotx=tan2x
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
a] cos2 x - sin2x =0.
b] 2sin[2x – 40º] = √3
Hướng dẫn:
a] cos2x-sin2x=0 ⇔cos2x-2 sinx cosx=0
⇔ cosx [cosx - 2 sinx ]=0
b] 2 sin[2x-40º ]=√3
⇔ sin[2x-40º ]=√3/2
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:
Hướng dẫn:
a] sin[2x+1]=cos[3x+2]
b]
⇔ sinx+1=1+4k
⇔ sinx=4k [k ∈ Z]
Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm
Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:
⇔sinx = 0 ⇔ x = mπ [m ∈ Z]
Cách giải Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
Định nghĩa:
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Là phương trình có dạng :
a.f2[x] + b.f[x] + c = 0
với f[x] = sinu[x] hoặc f[x] = cosu[x], tanu[x], cotu[x].
Cách giải:
Đặt t = f[x] ta có phương trình : at2 + bt +c = 0
Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x
Khi đặt t = sinu[x] hoặc t = cosu[x], ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1
Bài 1: sin2x +2sinx - 3 = 0
Bài 2: cos2x – sinx + 2 = 0
Bài 1: 1/[sin2 x]+tanx-1=0
Lời giải:
Bài 2: cosx – sin2x = 0
Lời giải:
Bài 3: cos2x + cosx – 2 = 0
Lời giải:
Cách giải Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
Xét phương trình asinx + bcosx = c [1] với a, b là các số thực khác 0.
Khi đó phương trình [1] được đưa về dạng
Ở đó α là cung thỏa mãn
Chú ý:
Bài 1: Giải phương trình sau: cos2x – sin2x = 0.
Bài 2: Giải phương trình sau: sin3x - √3 cos3x = 2sin2x.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.