Cho hai số thực dương x,y thỏa x+2y 3 tìm giá trị lớn nhất của p xy

Trang chủ

Sách ID

Khóa học miễn phí

Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023

Câu hỏi: Cho \[x,y\] là các số thực dương thỏa mãn \[\ln \frac{{x\left[ {1 + y} \right]}}{{4\left[ {2 – y} \right]}} = 2\left[ {8 – x – 4y – xy} \right]\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[P = x + 3y\].

A. \[4\]. 

B. \[5\]. 

C. \[6\]. 

D. \[7\].

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x\left[ {1 + y} \right]}}{{4\left[ {2 – y} \right]}} > 0\\x > 0\,;y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < y < 2\\x > 0\end{array} \right.\].

Ta có: \[\ln \frac{{x\left[ {1 + y} \right]}}{{4\left[ {2 – y} \right]}} = 2\left[ {8 – x – 4y – xy} \right] \Leftrightarrow \ln \left[ {x + xy} \right] – \ln \left[ {8 – 4y} \right] = 2\left[ {8 – 4y} \right] – 2\left[ {x + xy} \right]\]

\[ \Leftrightarrow \ln \left[ {x + xy} \right] + 2\left[ {x + xy} \right] = \ln \left[ {8 – 4y} \right] + 2\left[ {8 – 4y} \right]\] 

Xét hàm số \[f\left[ t \right] = \ln t + 2t\] trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].

Ta có\[f’\left[ t \right] = \frac{1}{t} + 2 > 0,\forall t > 0\], suy ra \[f\left[ t \right]\] là hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].

Do đó \[f\left[ {x + xy} \right] = f\left[ {8 – 4y} \right] \Leftrightarrow \]\[x + xy = 8 – 4y \Leftrightarrow x = \frac{{8 – 4y}}{{1 + y}}\]. 

Khi đó: \[P = x + 3y = \frac{{8 – 4y}}{{1 + y}} + 3y\]. Xét hàm số \[g\left[ y \right] = \frac{{8 – 4y}}{{1 + y}} + 3y\] trên khoảng \[\left[ {0;2} \right]\].

Ta có: \[g’\left[ y \right] = \frac{{ – 12}}{{{{\left[ {y + 1} \right]}^2}}} + 3 = \frac{{3\left[ {{y^2} + 2y – 3} \right]}}{{{{\left[ {y + 1} \right]}^2}}}\]; \[g’\left[ y \right] = 0 \Leftrightarrow \frac{{3\left[ {{y^2} + 2y – 3} \right]}}{{{{\left[ {y + 1} \right]}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =- 3\,\,[L]\\y = 1\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \[\min P = 5\] khi \[x = 2,y = 1\].

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit

Câu hỏi:
Cho \[x,y\] là các số thực dương thỏa mãn \[{\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3[y – \sqrt {1 + x} ] – {y^2} + x\].

Giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\] bằng

A. \[\sqrt 2 \]. 

B. \[\sqrt 3 \]. 

C. \[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\]. 

D. \[\frac{1}{{\sqrt 3 }}\].

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Với \[x,y\] là các số dương, ta có

\[{\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3[y – \sqrt {1 + x} ] – {y^2} + x \Leftrightarrow {\log _2}y + {y^2} – 3y = {\log _2}\sqrt {1 + x}+ [1 + x] – 3\sqrt {1 + x} \].

Xét hàm \[f[t] = {\log _2}t + {t^2} – 3t\] trên \[[0; + \infty ]\].

Ta có \[f'[t] = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2t – 3 \ge 2\sqrt {\frac{2}{{\ln 2}}}- 3 > 0,{\rm{ }}\forall t > 0\] suy ra hàm số \[f[t]\] đồng biến trên \[[0; + \infty ]\]

Do đó\[ \Leftrightarrow f[y] = f[\sqrt {1 + x} ] \Leftrightarrow y = \sqrt {1 + x}\Leftrightarrow {y^2} = 1 + x\].

Khi đó \[P = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\], ta có \[2[{x^2} + 1] \ge {[x + 1]^2} \Rightarrow \sqrt 2\ge \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\], dấu bằng xảy ra khi \[x = 1\].

Vậy giá trị lớn nhất của \[P\] bằng \[\sqrt 2 \], đạt được khi \[x = 1,y = \sqrt 2 \].

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì

Suy luận nào sau đây đúng?

Cho \[a,\,\,b,\,\,c\] dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho \[a > b > 0.\] Mệnh đề nào dưới đây sai?

Mã câu hỏi: 219452

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

CÂU HỎI KHÁC

• lý thuyết
• trắc nghiệm
• hỏi đáp
• bài tập sgk

cho x,y là hai số thực dương thỏa x+y=3. Tìm giá trị lớn nhất của P=x2y

Các câu hỏi tương tự

cho x,y là 2 số thực thỏa mãn x+2y=1 tìm giá trị nhỏ nhất của P=xy

Cho hai số dương x; y thỏa mãn: x + 2y = 3. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

. Tính M + m.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:

Theo đề:

ÞA= A’= A’=0Û Bảng biến thiên: Theo bảng biến thiên, ta được: maxA = , min A = .

Đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

• Ngoài việc cung cấp gỗ quý, rừng còn có tác dụng gì cho môi trường sống của con người.

• Đối với chất thải công nghiệp và sinh hoạt, Luật bảo vệ môi trường quy định:

• Bảo vệ thiên nhiên hoang dã cần ngăn chặn những hành động nào dưới đây.

• Giữ gìn thiên nhiên hoang dã là:

• Tài nguyên nào sau đây thuộc tài nguyên tái sinh:

• Muốn thực hiện quan hệ hợp tác giữa các quốc gia trong các lĩnh vực cần có:

• Bảo vệ chủ quyền, thống nhất toàn vẹn lãnh thổ là nội dung cơ bản của pháp luật về:

• Bảo vệ tổ quốc là nghĩa vụ thiêng liêng và cao quý của ai sau đây?

• Ngăn chặn và bài trừ các tệ nạn xã hội được pháp luật quy định trong luật nào dưới đây:

• Đâu không phải là nội dung của pháp luật về phát triển bền vững của xã hội?