Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm
- Xét hàm số: f[x]=2x3-5x2 +x+1 là hàm đa thức.
⇒ Hàm số f liên tục trên R.
- Ta có:
- Mà c ≠ c2 nên PT f[x] = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Tìm giới hạn: limx→3x+1-29-x2
Xem đáp án » 26/12/2020 2,765
Tìm giới hạn: limx→3+ 7x-1x-3
Xem đáp án » 26/12/2020 1,412
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
+] Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] và f[a].f[b] < 0, thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [a; b].
+] Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.
- Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f[x] = 0.
- Bước 2: Tìm 2 số a và b [a < b] sao cho f[a] . f[b] < 0
- Bước 3: Chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b].
Từ đó suy ra phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a; b].
Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.
+] Một số chú ý:
- Nếu f[a].f[b] ≤ 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; b].
- Nếu hàm số f[x] liên tục trên [a; + ∞] và có f[a] .
- Nếu hàm số f[x] liên tục trên [-∞; a] và có f[a] .
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x3 + x - 1
Hàm f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R [định lý cơ bản về tính liên tục]
Suy ra hàm f[x] liên tục trên đoạn [0; 1] [vì [0; 1] ⊂R] [1]
Ta có: f[0] = 03 + 0 – 1 = - 1 ; f[1] = 13 + 1 – 1 = 1
⇒ f[0] . f[1] = - 1. 1 = - 1 < 0 [2]
Từ [1] và [2] suy ra f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1] [tính chất hàm số liên tục].
Vậy phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm [đpcm].
Ví dụ 2: Chứng minh 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [-1; 1].
Hướng dẫn giải:
+ Đặt f[x] = 4x4 + 2x2 - x - 3
Vì f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R.
Suy ra f[x] liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].
+ Ta có: f[-1] = 4.[-1]4 + 2.[-1]2 - [-1] - 3 = 4
f[0] = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3
f[1] = 4.14 + 2.12 - 1 - 3 = 2
+ Vì f[-1].f[0] = 4.[-3] = -12 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [-1; 0]
Vì f[0] . f[1] = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]
Mà hai khoảng [-1; 0] và [0; 1] không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc [-1; 1]. [đpcm]
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình x5 - 5x3 + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x5 - 5x3 + 4x - 1 thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].
Ta có:
Vì
Vì
Vì
Vì
Vì f[1] . f[3] = -1 . 119 = -119 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [1; 3].
Do các khoảng
Mà phương trình f[x] = 0 có bậc là 5, nên nó có không quá 5 nghiệm
Vậy phương trình f[x] = 0 có đúng 5 nghiệm [đpcm].
Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình [m2 - m + 3]x2n - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = [m2 - m + 3]x2n - 2x - 4
Ta có:
Mặt khác hàm số f[x] xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]
Do đó phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [-2; 0].
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x3 + ax2 + bx + c thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].
Ta có:
Tương tự:
Như vậy có x1 ; x2 để f[x1] . f[x2] < 0 suy ra phương trình có nghiệm x ∈ [x1; x2]
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b, c.
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.