Đề bài
Chứng minh:
\[x - \sqrt x + 1 = {\left[ {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right]^2} + {\dfrac{3}{4}}\]với \[x > 0\]
Từ đó, cho biết biểu thức \[\dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\]có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?
Giá trị đó đạt được khi \[x\] bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức\[{\left[ {a - b} \right]^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\]
Sau đó biện luận để tìm giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[{\left[ {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right]^2} + {\dfrac{3}{4}}\]\[ = x -2.\dfrac{1}{2}. \sqrt x + {\dfrac{1}{4}} + {\dfrac{3}{4}} \]\[= x - \sqrt x + 1\]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Ta có: \[{\dfrac{1}{x - \sqrt x + 1}} = {\dfrac{1}{{{\left[ {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right]}^2} + {\dfrac{3}{4}}}}\] có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi\[{\left[ {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right]^2} + \dfrac{3}{4}\] nhỏ nhất.
Vì \[{\left[ {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right]^2} \ge 0\]nên \[{\left[ {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right]^2} + {\dfrac{3}{4}} \ge \dfrac{3}{4}\]
Suy ra \[{\left[ {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right]^2} + {\dfrac{3}{4}}\] nhỏ nhất bằng \[{\dfrac{3}{4}}\] khi và chỉ khi \[\sqrt x - {\dfrac{1}{2}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = {\dfrac{1}{2}} \]\[\Leftrightarrowx = {\dfrac{1}{4}}\] [thỏa mãn \[x>0\]]
Khi đó: \[{\dfrac{1}{x - \sqrt x + 1}}=\dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}}}=\{\dfrac{4 }{3}}\]
Vậy \[{\dfrac{1}{x - \sqrt x + 1}}\]có giá trị lớn nhất bằng \[\dfrac{4 }{3}\]khi \[x = {\dfrac{1 }{4}}\].