Đề bài
Từ một điểm M bên ngoài đường tròn [O] vẽ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính BOD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau \[ \Rightarrow MB = MC\].
+] Chứng minh \[\widehat {MAC} = \widehat {MCA} \Rightarrow \Delta MAC\] cân tại M \[ \Rightarrow MA = MC\].
Lời giải chi tiết
Do \[MB = MC\] [*] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau] nên \[\Delta MBC\] cân tại M \[ \Rightarrow \widehat {MBC} = \widehat {MCB}\] [1] [hai góc ở đáy].
Ta có: \[\widehat {BCD} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] \[ \Rightarrow BC \bot CD\] hay \[BC \bot AD \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại C.
\[ \Rightarrow \widehat {MAC} + \widehat {MBC} = {90^0}\] [2] [hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau].
Lại có: \[\widehat {MCA} + \widehat {MCB} = \widehat {ACB} = {90^0}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] \[ \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA} \Rightarrow \Delta MAC\] cân tại M \[ \Rightarrow MA = MC\] [**].
Từ [*] và [**] \[ \Rightarrow MA = MB\]. Lại có \[M \in AB \Rightarrow M\] là trung điểm của AB.