Đề bài
Cho khối lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh bằng \[a\]. Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,AD\]. Mặt phẳng \[\left[ {MB'D'N} \right]\] chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi \[\left[ H \right]\] là khối đa diện chứa đỉnh \[A\]. Thể tích của khối đa diện \[\left[ H \right]\] bằng:
A. \[\dfrac{{{a^3}}}{9}\] B. \[\dfrac{{{a^3}}}{6}\]
C. \[\dfrac{{{a^3}}}{4}\] D. \[\dfrac{{7{a^3}}}{{24}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Kéo dài \[B'M,D'N\] cắt \[A'A\] tại \[S\].
- Tính thể tích khối chóp \[S.A'B'D'\] và \[S.AMN\] rồi suy ra đáp số.
Lời giải chi tiết
Kéo dài \[B'M,D'N\] cắt nhau tại \[S\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {B'MND'} \right] \cap \left[ {ABB'A'} \right] = B'M\\\left[ {B'MND'} \right] \cap \left[ {ADD'A'} \right] = D'N\\\left[ {ABB'A'} \right] \cap \left[ {ADD'A'} \right] = A'A\\B'M \cap D'N = \left\{ S \right\}\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow S \in A'A\].
Lại có \[\dfrac{{SA}}{{SA'}} = \dfrac{{SN}}{{SD'}} = \dfrac{{AN}}{{A'D'}} = \dfrac{1}{2}\]\[ \Rightarrow SA = \dfrac{1}{2}SA'\] hay \[A\] là trung điểm của \[SA'\] hay \[SA = A'A = a\].
Ta có: \[{V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{AMN}}\] \[ = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}}\].
\[{V_{S.A'B'D'}} = \dfrac{1}{3}SA'.{S_{A'B'D'}}\] \[ = \dfrac{1}{3}2a.\dfrac{1}{2}a.a = \dfrac{{{a^3}}}{3}\].
Vậy \[{V_{AMN.A'B'D'}} = {V_{S.A'B'D'}} - {V_{S.AMN}}\] \[ = \dfrac{{{a^3}}}{3} - \dfrac{{{a^3}}}{{24}} = \dfrac{{7{a^3}}}{{24}}\].
Chọn D.