Đề bài
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], có \[AC = \dfrac{1}{2}BC\]. Tính :
\[\sin B,\cos B,tgB,\cot gB.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn [hình] như sau:
\[\sin \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha = \dfrac{{AC}}{{BC}};\]\[\tan \alpha = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha = \dfrac{{AC}}{{AB}}.\]
Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}.\]
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} \cr
& = B{C^2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{3B{C^2}}}{4} \cr
& \Rightarrow AB = \dfrac{{BC\sqrt 3 }}{ 2} \cr} \]
Vậy: \[\sin \widehat B = \dfrac{{AC}}{{BC}} =\dfrac{{\dfrac{1}{2}BC}}{{BC}}= \dfrac{1}{2}\]
\[{\rm{cos}}\widehat B = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}BC}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\[tg\widehat B = \dfrac{{AC}}{{AB}} =\dfrac{{\dfrac{1}{2}BC}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}BC}}= \dfrac{{\sqrt 3 }}{ 3}\]
\[\cot g\widehat B = \dfrac{1}{{tgB}} =\dfrac{1}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}}= \sqrt 3 \]