Đề bài
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \[R\] và chiều cao \[R\sqrt 3 \].
a] Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b] Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ.
c] Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng \[{30^0}\]. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Lời giải chi tiết
a] Diện tích xung quanh của hình trụ
\[{S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}\]
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
\[{S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\pi {R^2} \] \[= 2\left[ {\sqrt 3 + 1} \right]\pi {R^2}\]
b] Thể tích của khối trụ \[V = \pi {R^2}.R\sqrt 3 = \sqrt 3 \pi {R^3}\].
c] Gọi \[O\] và \[O\] là tâm của hai đường tròn đáy.
Kẻ \[AA // OO\] [A nằm trên đáy dưới hình trụ]
Ta có: \[O'A' = R\,\,,\,\,AA' = R\sqrt 3 \]và \[\widehat {BAA'} = {30^0}\].
Vì \[OO // [ABA]\] nên khoảng cách giữa \[OO\] và \[AB\] bằng khoảng cách giữa \[OO\] và \[[ABA]\].
Kẻ \[OH \bot A'B\]thì \[H\] là trung điểm của \[AB\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung] và \[O'H \bot \left[ {ABA'} \right]\].
Trong tam giác vuông \[AAB\] ta có:
\[\tan {30^0} = {{A'B} \over {AA'}} \]
\[\Rightarrow A'B = AA'.\tan{30^0} \] \[= R\sqrt 3 .{1 \over {\sqrt 3 }} = R\]
Vậy tam giác \[BAO\] là tam giác đều cạnh \[R\] nên \[O'H = {{R\sqrt 3 } \over 2}\].