Đề bài
Chứng minh rằng nếu tam giác \[A'B'C'\] đồng dạng với tam giác \[ABC\] theo tỉ số \[k\], thì tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng với hai tam giác đó cũng bằng \[k\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
- Định lí:Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất trung tuyến.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[A'B'C'\] đồng dạng \[ABC\] theo tỉ số \[k, A'M', AM\] là hai đường trung tuyến tương ứng.
Vì \[A'B'C'\] đồng dạng \[ABC\] theotỉ số k [giả thiết]
\[\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = k\] [tính chất hai tam giác đồng dạng]
Mà \[B'C' = 2B'M', BC = 2BM\] [tính chất trung tuyến]
\[ \Rightarrow \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{2B'M'}}{{2BM}} = \dfrac{{B'M'}}{{BM}}\]
Xét \[ABM\] và \[ A'B'M'\] có:
\[\widehat{B} = \widehat{B'}\] [vì \[A'B'C'\] đồng dạng \[ABC\]]
\[\dfrac{{A'B'}}{{AB}} =\dfrac{{B'M'}}{{BM}}\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow A'B'M' \] đồng dạng \[ABM\] theo tỉ số \[\frac{A'B'}{AB} = k\][c-g-c]
\[\Rightarrow \dfrac{A'M'}{AM}= \dfrac{A'B'}{AB} = k.\]