Đề bài
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\]xác định trên khoảng [a; b] chứa điểm x0
Chứng minh rằng nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left[ x \right] - f\left[ {{x_0}} \right]} \over {x - {x_0}}} = L\]thì hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục tại điểmx0
Hướng dẫn:Đặt \[g\left[ x \right] = {{f\left[ x \right] - f\left[ {{x_0}} \right]} \over {x - {x_0}}} - L\]và biểu diễn \[f\left[ x \right]\]qua \[g\left[ x \right]\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đặt \[g\left[ x \right] = {{f\left[ x \right] - f\left[ {{x_0}} \right]} \over {x - {x_0}}} - L\]và biểu diễn \[f\left[ x \right]\]qua \[g\left[ x \right]\]
Lời giải chi tiết
Đặt \[g\left[ x \right] = {{f\left[ x \right] - f\left[ {{x_0}} \right]} \over {x - {x_0}}} - L\]
Suy ra \[g\left[ x \right]\]xác định trên \[\left[ {a{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right]\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\]và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left[ x \right] = 0\]
Mặt khác, \[f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right] + L\left[ {x - {x_0}} \right] + \left[ {x - {x_0}} \right]g\left[ x \right]\]nên
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left[ {{x_0}} \right] + L\left[ {x - {x_0}} \right] + \left[ {x - {x_0}} \right]g\left[ x \right]} \right] \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ {{x_0}} \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} L\left[ {x - {x_0}} \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {x - {x_0}} \right].\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]. \cr} \]
Vậy hàm số \[y = f\left[ x \right]\]liên tục tại \[x_0\].