Đề bài
Giả sử hai hàm số \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = f\left[ {x + {1 \over 2}} \right]\] đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \[f\left[ 0 \right] = f\left[ 1 \right]\] Chứng minh rằng phương trình \[f\left[ x \right] - f\left[ {x + {1 \over 2}} \right] = 0\]luôn có nghiệm trong đoạn \[\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] xác định và liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\]. Nếu \[f\left[ a \right].f\left[ b \right] < 0\] thì tồn tại ít nhất một số \[c \in \left[ {a;b} \right]\] sao cho \[f\left[ c \right] = 0\].
Lời giải chi tiết
Xét hàm số \[g\left[ x \right] = f\left[ x \right] - f\left[ {x + {1 \over 2}} \right]\]
Ta có
\[\eqalign{
& g\left[ 0 \right] = f\left[ 0 \right] - f\left[ {0 + {1 \over 2}} \right] \cr
& = f\left[ 0 \right] - f\left[ {{1 \over 2}} \right] \cr
& g\left[ {{1 \over 2}} \right] = f\left[ {{1 \over 2}} \right] - f\left[ {{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right] \cr
& = f\left[ {{1 \over 2}} \right] - f\left[ 1 \right] \cr
& = f\left[ {{1 \over 2}} \right] - f\left[ 0 \right] \cr} \]
[vì theo giả thiết \[f\left[ 0 \right] = f\left[ 1 \right]\]].
Do đó,
\[\eqalign{
& g\left[ 0 \right]g\left[ {{1 \over 2}} \right] \cr &= \left[ {f\left[ 0 \right] - f\left[ {{1 \over 2}} \right]} \right]\left[ {f\left[ {{1 \over 2}} \right] - f\left[ 0 \right]} \right] \cr
& = - {\left[ {f\left[ 0 \right] - f\left[ {{1 \over 2}} \right]} \right]^2} \le 0. \cr}\]
- Nếu \[g\left[ 0 \right]g\left[ {{1 \over 2}} \right] = 0\]thì x = 0 hay \[x = {1 \over 2}\]là nghiệm của phương trình \[g\left[ x \right] = 0\]
- Nếu \[g\left[ 0 \right]g\left[ {{1 \over 2}} \right] < 0\] [1]
Vì \[y = f\left[ x \right]\]và \[y = f\left[ {x + {1 \over 2}} \right]\] đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \[y = g\left[ x \right]\]cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \[\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra phương trình \[g\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm trong khoảng \[\left[ {0;\dfrac{1}{2}} \right]\]
Kết luận : Phương trình \[g\left[ x \right] = 0\]hay \[f\left[ x \right] - f\left[ {x + {1 \over 2}} \right] = 0\]luôn có nghiệm trong đoạn \[\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\].