Đề bài
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] là \[\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC} = A{B^2}\].
Lời giải chi tiết
Ta có \[\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC} = {\overrightarrow {BA} ^2}\,\]\[ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA} [\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} ] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {AC} = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,BA \bot AC\]
\[\Leftrightarrow \] Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\].
Cách khác:
Trong tam giác ABC ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} .\left[ {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right]\\ = {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} \end{array}\]
Do đó, tam giác ABC vuông tại A\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} = 0\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 0 = {\overrightarrow {BA} ^2}\]