Đề bài
Giả sử đồ thị [G] của hàm số \[y = {{{{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^x}} \over {\ln 2}}\]cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của [G] tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB [chính xác đến hàng phần nghìn].
Lời giải chi tiết
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}\]
Tọa độ điểm \[A\left[ {0;{1 \over {\ln 2}}} \right]\].
Vậy \[OA = {1 \over {\ln 2}}\]
Ta có \[y' = {{{{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left[ {\sqrt 2 } \right]^x} \]
\[\Rightarrow y'\left[ 0 \right] = {1 \over 2}\]
Phương trình tiếp tuyến tại A là: \[y - {1 \over {\ln 2}} = {1 \over 2}[x-0]\]
\[\Rightarrow y = {1 \over 2}x + {1 \over {\ln 2}}\]
Giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành:
Cho \[y=0\] ta được:
\[\frac{1}{2}x + \frac{1}{{\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{2}{{\ln 2}} \] \[\Rightarrow B\left[ { - {2 \over {\ln 2}};0} \right]\] suy ra \[OB = {2 \over {\ln 2}}\]
Vậy \[{S_{OAB}} = {1 \over 2}OA.OB \] \[= {1 \over 2}.{1 \over {\ln 2}}.{2 \over {\ln 2}} = {1 \over {{{\ln }^2}2}} \approx 2,081\]
Cách khác:
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}\]
Tọa độ điểm \[A\left[ {0;{1 \over {\ln 2}}} \right]\].
Vậy \[OA = {1 \over {\ln 2}}\]
Ta có \[y' = {{{{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left[ {\sqrt 2 } \right]^x} \]
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị [G] tại A là:
\[y'\left[ 0 \right] = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\]
Trong tam giác OAB, ta có:
\[\frac{{OA}}{{OB}} = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow OB = 2OA = \frac{2}{{\ln 2}}\]
Do đó diện tích tam giác OAB là
\[{S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\ln 2}}.\frac{2}{{\ln 2}}\] \[= \frac{1}{{{{\ln }^2}2}} \approx 2,081\]