Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của \[\Delta AHB\] và J là giao điểm các đường phân giác của \[\Delta AHC\] . Gọi E là giao điểm của các đường thẳng BI và AJ. Chứng minh rằng:
a] \[\Delta ABE\] là tam giác vuông;
b] \[IJ \bot A{\rm{D}}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai góc cùng phụ với góc thứ ba thì bằng nhau
Tổng hai góc nhọn của 1 tam giác vuông bằng 90 độ
Ba đường trung trực ba cạnh của tam giác đồng quy tại 1 điểm
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat B = \widehat {HAC}\] [cùng phụ với \[\widehat C\]]
\[ \Rightarrow {{\widehat B} \over 2} = {{\widehat {HAC}} \over 2}\] hay \[{\widehat B_1} = {\widehat A_2},\] mà \[{\widehat A_2} + \widehat {BA{\rm{E}}} = {90^0}\] [vì \[\widehat {BAC} = {90^0}\]]
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} + \widehat {BA{\rm{E}}} = {90^0}.\]
Trong \[\Delta A{\rm{E}}B \Rightarrow \widehat {BE{\rm{A}}} = {90^0}\] hay \[\Delta {\rm A}{\rm B}{\rm E}\] vuông tại E.
b] [Xem hình vẽ]
F là giao của CJ và AI
Chứng minh tương tự ta có \[CF \bot AI\] hay \[JF \bot AI\], lại có \[IE \bot {\rm A} J\] [cmt].
Gọi O là giao điểm của BI và CJ ta có O thuộc AD [giao điểm 3 đường phân giác của \[\Delta ABC\]] đồng thời O là trực tâm của \[\Delta AIJ\] \[ \Rightarrow AO\] là đường cao thứ ba của \[\Delta AIJ\],
Hay \[A{\rm{D}} \bot IJ.\]