Đề bài
Cho ABC vuông tại A. Đường phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn \[BD = 36cm\] và \[CD = 60cm\]. Kẻ đường cao AH của tam giác .
a. Tính tỉ số \[{{HB} \over {HC}}\]
b. Tính chiều cao AH.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\]. Khi đó ta có các hệ thức sau:
+] \[A{B^2} = BH.BC\] và \[A{C^2} = CH.BC\]
+] \[H{A^2} = HB.HC\]
Lời giải chi tiết
a. Ta có: AD là phân giác của ABC nên:
\[{{AB} \over {AC}} = {{DB} \over {DC}} = {{36} \over {60}} = {3 \over 5} \Rightarrow {{A{B^2}} \over {A{C^2}}} = {9 \over {25}}\]
Lại có: ABC vuông tại A, đường cao AH nên:
\[A{B^2} = BC.HB\] [định lí 1]
\[A{C^2} = BC.HC\] [định lí 1]
\[ \Rightarrow {{HB} \over {HC}} = {{A{B^2}} \over {A{C^2}}} = {9 \over {25}}\]
b. Ta có: \[{{HB} \over {HC}} = {9 \over {25}}\] [cmt]
\[ \Rightarrow {{HB} \over 9} = {{HC} \over {25}} = {{HB + HC} \over {9 + 25}} = {{BD + DC} \over {9 + 25}}\]
\[= {{36 + 60} \over {34}} = {{96} \over {34}} = {{48} \over {17}}\]
Do đó: \[HB = {{48.9} \over {17}} \approx 25,4\,\left[ {cm} \right]\]
\[ \Rightarrow HC = 96 - 25,4 \approx 70,6\,\left[ {cm} \right]\]
Vậy \[A{H^2} = HB.HC\] [định lí 2]
\[ \Rightarrow AH = \sqrt {HB.HC} \]\[\; \approx \sqrt {25,4.70,6} \approx 42,3\,\left[ {cm} \right]\]